Dapatkah metode ruang bagian Krylov digunakan sebagai lebih lancar untuk multigrid?

Sejauh yang saya ketahui, pemecah multigrid menggunakan peranti iteratif seperti Jacobi, Gauss-Seidel, dan SOR untuk meredam kesalahan pada berbagai frekuensi. Bisakah metode ruang bagian Krylov (seperti gradien konjugat, GMRES, dll.) Digunakan sebagai gantinya? Saya tidak berpikir mereka digolongkan sebagai "smootheners", tetapi mereka dapat digunakan untuk mendekati solusi grid kasar. Bisakah kita berharap untuk melihat konvergensi analog dengan solusi seperti yang kita lakukan dalam metode multigrid standar? Atau tergantung masalah?

Ya, Anda bisa, tetapi metode Krylov umumnya tidak memiliki sifat perataan yang bagus. Ini karena mereka menargetkan seluruh spektrum dengan cara adaptif yang meminimalkan sisa atau norma kesalahan yang sesuai. Ini biasanya akan mencakup beberapa mode frekuensi rendah (panjang gelombang panjang) yang akan ditangani oleh grid kasar dengan baik. Krylov smoothers juga membuat siklus multigrid nonlinier, jadi jika multigrid digunakan sebagai prekondisi untuk metode Krylov luar, metode luar harus "fleksibel" (misalnya GCR atau FGMRES).

Menggunakan Krylov smoothers juga sangat meningkatkan jumlah produk titik yang harus dihitung, yang menjadi hambatan signifikan secara paralel. Namun, bahkan dengan sifat-sifat yang tidak menarik ini, Krylov smoothers kadang-kadang berguna, terutama untuk masalah yang sulit di mana operator interpolasi yang baik tidak tersedia.

$\lambda_\max$$D^{-1}A$$D^{-1}$$A$$(0.1 \lambda_{\max}, 1.1 \lambda_{\max})$$1$$5$$5$$10$$\lambda_\max$$\lambda_\max$

Adams, Brezina, Hu, dan Tuminaro (2003) adalah makalah yang bagus tentang kinerja paralel dan algoritmik dari polinomial smoothers. Perhatikan bahwa polinomial smoothers cenderung kurang efektif (dan / atau sulit untuk dirumuskan) untuk masalah non-simetris, dalam hal ini Anda mungkin ingin menggunakan Gauss-Seidel atau skema relaksasi yang lebih canggih (blok / didistribusikan).