Metode FEM untuk masalah sementara biasanya menggunakan metode garis, yaitu diskritisasi spasial dipisahkan dari diskritisasi waktu:
mana U ( t ) adalah vektor jumlah nodal, diasumsikan sebagai fungsi waktu yang tidak diketahui. Berdasarkan asumsi ini, ruang-waktu PDE di ( x , t ) direduksi (diskritkan) menjadi ODE di t sendiri menggunakan mesin FEM biasa untuk masalah statis.
kamuh( x , t ) = Φ ( x )TU ( t )
U ( t )( x , t )t
Seperti yang sudah ditunjukkan oleh jawaban lain, kita berbicara tentang FEM eksplisit atau implisit dengan mengacu pada skema integrasi waktu dari ODE ini.
Dengan mengacu pada masalah mekanika kontinum (tanpa redaman), kita berakhir dengan sistem ODE seperti
mana dan adalah gaya setara nodal internal dan eksternal. Untuk masalah linear .
M U¨( t ) + Fsaya( U ( t ) ) = Fe( t )
F e F i (t)= KFsayaFeFsaya( t ) = KU ( t )
Dengan risiko terlalu menyederhanakan, mari kita asumsikan bahwa dalam skema eksplisit Anda hanya perlu menyelesaikan untuk
yang merupakan sepele jika matriks massa disamakan. Sebaliknya dalam metode implisit Anda perlu menyelesaikan persamaan (non) -linear .M ¨ U (t)=-Fi(U(t))+Fe(t)Fi(U(t))=bU¨( t )
M U¨( t ) = - Fsaya( U ( t ) ) + Fe( t )
Fsaya( U ( t ) ) = b
Untuk sepenuhnya menjawab pertanyaan Anda: eksplisit / implisit mengacu pada solusi sistem ODE dan bukan sifat dari matriks massa. Tentu saja setiap implementasi yang wajar dari skema eksplisit membutuhkan matriks massa untuk dikelompokkan, jika tidak, keuntungan dari metode ini akan hilang dalam solusi untuk . Sebaliknya untuk skema implisit Anda dapat memiliki matriks massa yang disamakan dan konsisten.U¨( t )
Istilah "eksplisit" dan "implisit" muncul dalam diskritisasi waktu, dan istilah-istilah ini sudah digunakan dalam literatur tentang persamaan diferensial biasa (yaitu, mereka tidak spesifik untuk metode elemen hingga). Akan bermanfaat untuk melihat buku yang membahas solusi numerik ODE, mis. Hairer & Wanner.
sumber