Apakah ada keuntungan numerik dalam memecahkan matriks simetris dibandingkan dengan matriks tanpa simetri?

Saya menerapkan metode beda hingga ke sistem 3 persamaan digabungkan. Dua persamaan tidak digabungkan, namun persamaan ketiga berpasangan dengan dua lainnya. Saya perhatikan bahwa dengan mengubah urutan persamaan, katakan dari menjadi bahwa matriks koefisien menjadi simetris. $(x, y, z)$ $(x, z, y)$

Apakah ada untungnya melakukan ini? Misalnya, dalam hal stabilitas atau efisiensi / kecepatan solusi. Matriks sangat jarang, jika itu penting, suku-suku yang bukan nol berada di sepanjang diagonal pusat.

finite-difference symmetry Boyfarrell
sumber

Ya, dibutuhkan upaya yang jauh lebih sedikit untuk menyelesaikan sistem simetris daripada yang tidak simetris. Selain itu, jika Anda dapat menunjukkan bahwa matriks koefisien Anda adalah positif-pasti, maka Anda berada di tempat yang baik.

Jawaban:

Benar!

Pertama, beberapa sistem aljabar linier cukup pintar untuk hanya menyimpan setengah dari matriks, ini bisa menghemat banyak memori. Tetapi bahkan jika ini tidak terjadi, berbagai algoritma dalam aljabar linear numerik akan mengeksploitasi simetri.

Misalnya, diberikan matriks simetris, setiap eigensolver akan segera tahu bahwa semua nilai eigen bernilai nyata, dan metode solusinya dapat menggunakan fakta itu.

$Ax=b$

$A=LU$ $L$ $U$ $A$ $A=LL^T$

Nico Schlömer
sumber

"... dan metode solusi dapat menggunakan fakta itu dengan, misalnya, memotong kesalahan pembulatan di bagian imajiner selama perhitungan." - lebih seperti lingkungan komputasi menggunakan metode yang mengeksploitasi simetri dan dijamin memberikan hasil nyata.