Berulang kali memecahkan dengan , berbeda

Saya menggunakan MATLAB untuk memecahkan masalah yang melibatkan penyelesaian di setiap timestep, di mana berubah seiring waktu. Saat ini, saya menyelesaikan ini menggunakan MATLAB :$\mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b}$$\mathbf{b}$mldivide

x = A\b

Saya memiliki fleksibilitas untuk membuat sebanyak mungkin perhitungan yang diperlukan, jadi saya bertanya-tanya apakah ada metode yang lebih cepat dan / atau lebih akurat daripada mldivide. Apa yang biasanya dilakukan di sini? Terima kasih semuanya!

Hal paling jelas yang dapat Anda lakukan adalah melakukan precompute

[L,U] = lu(A) ~ O (n ^ 3)

Maka Anda hanya menghitung

x = U \ (L \ b) ~ O (2 n ^ 2)

Ini akan sangat mengurangi biaya dan membuatnya lebih cepat. Akurasi akan sama.

Kami melakukan beberapa laboratorium komputer dalam kursus komputasi ilmiah kami tentang topik ini. Untuk perhitungan "kecil" yang kami lakukan di sana, operator backslash Matlab selalu lebih cepat daripada yang lain, bahkan setelah kami mengoptimalkan kode kami sebanyak mungkin dan menyusun ulang semua matriks sebelumnya (misalnya dengan pemesanan Reverse Cuthill McKee untuk matriks jarang) .

Anda dapat memeriksa salah satu instruksi lab kami . Jawaban untuk pertanyaan Anda dibahas (segera) di halaman 4.

Buku bagus tentang topik ini ditulis misalnya oleh Cheney .

Misalkan adalah matriks padat dan Anda harus menyelesaikan , . Jika adalah cukup besar maka tidak ada yang salah dalamn × n A x i = b i i = 1 ... m $A$$n\times n$ $Ax_i = b_i$$i=1\dots m$$m$

V = inv(A);
...
x = V*b;

Flops adalah untuk dan untuk , oleh karena itu untuk menentukan nilai impas untuk beberapa eksperimen diperlukan ...O ( n 2 ) $O(n^3)$inv(A)$O(n^2)$V*b$m$

>> n = 5000;
>> A = randn(n,n);
>> x = randn(n,1);
>> b = A*x;
>> rcond(A)
ans =
   1.3837e-06
>> tic, xm = A\b; toc
Elapsed time is 1.907102 seconds.
>> tic, [L,U] = lu(A); toc
Elapsed time is 1.818247 seconds.
>> tic, xl = U\(L\b); toc
Elapsed time is 0.399051 seconds.
>> tic, [L,U,p] = lu(A,'vector'); toc
Elapsed time is 1.581756 seconds.
>> tic, xp = U\(L\b(p)); toc
Elapsed time is 0.060203 seconds.
>> tic, V=inv(A); toc
Elapsed time is 7.614582 seconds.
>> tic, xv = V*b; toc     
Elapsed time is 0.011499 seconds.
>> [norm(xm-x), norm(xp-x), norm(xl-x), norm(xv-x)] ./ norm(x)
ans =
   1.0e-11 *
    0.1912    0.1912    0.1912    0.6183

Dalam contoh sepele ini pra-perhitungan lebih baik daripada maju dan mundur solusi untuk . L U m > $A^{-1}$$LU$$m>125$

Beberapa catatan

Untuk analisis stabilitas dan kesalahan, silakan lihat komentar untuk jawaban yang berbeda ini , terutama yang oleh VictorLiu.

Waktu yang diusulkan sama sekali tidak "ilmiah", tetapi dimaksudkan untuk menunjukkan bahwa pendekatan yang diusulkan dalam jawaban oleh Milind R, sementara itu masuk akal jika diimplementasikan dalam C atau Fortran dengan memanggil subrutin LAPACK dan BLAS yang relevan, mungkin terbukti tidak begitu efektif di Matlab, bahkan untuk .$m\ll n$

Pengaturan waktu dilakukan dengan Matlab R2011b pada komputer 12 inti dengan rata-rata beban UNIX 5 yang cukup konstan; tic, tocwaktu terbaik dari tiga probe.

Lihatlah pertanyaan ini , jawabannya menunjukkan bahwa mldivideitu cukup pintar, dan juga memberikan saran bagaimana cara melihat apa yang Matlab gunakan untuk menyelesaikannya A\b. Ini mungkin memberi Anda petunjuk tentang opsi pengoptimalan.

Menggunakan backslash kurang lebih sama dengan inv(A)*B, jika Anda mengkodekannya secara bebas, yang terakhir mungkin lebih intuitif. Mereka hampir sama (hanya berbeda dalam bagaimana perhitungan dilakukan), meskipun Anda harus memeriksa dokumentasi Matlab untuk klarifikasi.

Untuk menjawab pertanyaan Anda, backslash umumnya baik-baik saja, tetapi itu tergantung pada sifat-sifat matriks massa.