Kesulitan dengan Metode Spektral menggunakan Chebyshev Polynomials

19

Saya mengalami sedikit kesulitan dalam mencoba memahami makalah. Makalah ini menggunakan metode spektral untuk memecahkan nilai eigen yang berasal dari sistem ODE yang digabungkan. Saya hanya akan menulis satu persamaan sekarang, karena itu sudah cukup untuk sampai pada inti pertanyaan saya.

Persamaannya adalah

V[r]=e(ν[r]+λ[r])ϵ[r]+p[r][(ϵ[r]+p[r])(eν[r]+λ[r])rW[r]]

Saya melakukan turunan dan mendapatkan

(Persamaan 1) V=[ϵ+halϵ+hal+r(ν+λ)+1]W+rW

Sekarang menurut makalah saya harus dapat memperluas jumlah keseimbangan ) dari sistem sebagai Chebyshev Polynomials dari formulir(ϵ,hal,ν,λ

B[r]=Σsaya=0bsayaTsaya[y]-12b0 , di mana Tsaya[y] adalah polinomial. Saya tahu cara mendapatkan bsaya menggunakan kode yang saya tulis di Mathematica. Juga y=2(r/R)-1 , dan domain r adalah (0,R) .

Makalah ini juga menyatakan bahwa fungsi ( V,W ) dapat diperluas sebagai F[r]=(rR)lΣi=0fiTi[y]12f0 , dan secara umum istilah seperti B[r]F[r] dapat dinyatakan sebagai

B[r]F[r]=12(rR)lΣi=0πiTi[y]12π0

di mana πi=Σj=0[bi+j+Θ(j1)b|i1|]fl dan Θ(k)=0 untuk k<0 dan sama dengan 1 untuk k0 .

Dengan semua yang dikatakan, katakanlah saya membuat fungsi keseimbangan berikut

ϵ+pϵ+p=B1[r] dan r(ν+λ)=B2[r] , Kemudian Eq1 menjadi

(Eq2) ((rR)lΣi=0viTi[y]12v0)=[B1[r]+B2[r]+1]((rR)lΣi=0wiTi[y]12w0)+rW .

Pertanyaan1: Apa yang harus saya lakukan dengan ? Polinomial adalah fungsi dari jadi bagaimana saya dapat memiliki ekspansi seperti X fungsi [y]? Juga sepertinya saya bisa membaginya di setiap sisi persamaan, jadi apa gunanya pengenalan istilah itu? Maksud saya, menurut makalah istilah ini seharusnya memaksakan kondisi batas bahwa pergi ke nol sebagai pergi ke nol.(rR)l[y]B[r]=(rR)lV,Wr

* Pertanyaan2: * Bagaimana saya harus berurusan dengan dalam istilah . Makalah ini memberikan deskripsi tentang bagaimana menangani istilah turunan, tetapi bagaimana dengan itu sendiri. Apakah saya seharusnya memperlakukannya seperti nilai keseimbangan dan menggunakan aturan untuk istilah seperti atau haruskah saya menyatakan ini dalam bentuk . Atau haruskah saya melakukan sesuatu yang lain sama sekali?rrWrB[r]F[r]ry

tau1777
sumber
3
Mungkin Anda dapat menautkan ke makalah yang Anda referensikan?
Aron Ahmadia
Hai Aron, Berikut ini tautan arxiv.org/pdf/gr-qc/0210102.pdf Angka-angka numerik yang saya hadapi bermasalah dijelaskan dalam Lampiran A, dan persamaan yang saya periksa di atas adalah persamaan (19). Terima kasih.
tau1777
Perhatikan bahwa itu sendiri adalah fungsi (linear) dari (dan karenanya ). yrRr
Christian Clason

Jawaban:

1

Saya tidak yakin mungkin untuk menjawab pertanyaan tanpa membaca kertas secara terperinci. Tetapi sehubungan dengan pertanyaan pertama, Anda memiliki . Dan faktor ini tidak dapat dibagi karena tidak mengalikan semua istilah.r/R=(y+1)/2

Untuk pertanyaan 2: karena persamaan ini akan digunakan untuk menerapkan kondisi batas pada , saya pikir istilah yang Anda sebutkan harus menghilang.r=0

David Ketcheson
sumber