Implementasi metode Jacobi-Davidson untuk masalah nilai eigen kubik

Saya memiliki masalah nilai eigen kubik besar:

$$\left(\mathbf{A}_0 + \lambda\mathbf{A}_1 + \lambda^2\mathbf{A}_2 + \lambda^3\mathbf{A}_3\right)\mathbf{x} = 0.$$

Aku bisa mengatasi ini dengan mengkonversi ke masalah nilai eigen linear tetapi akan menghasilkan sistem sebagai besar:$3^2$

$$\begin{bmatrix} -\mathbf{A}_0 & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{I} & 0 \\ 0 & 0 & \mathbf{I} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \\ \mathbf{z} \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} \mathbf{A}_1 & \mathbf{A}_2 & \mathbf{A}_3 \\ \mathbf{I} & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{I} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \\ \mathbf{z} \end{bmatrix},$$

di mana dan z = λ y . Apa teknik lain yang tersedia untuk memecahkan masalah nilai eigen kubik? Saya pernah mendengar bahwa ada versi Jacobi-Davidson yang akan menyelesaikannya tetapi belum menemukan implementasi.$\mathbf{y} = \lambda\mathbf{x}$$\mathbf{z} = \lambda\mathbf{y}$

Juga, saya harus dapat menargetkan nilai eigen spesifik yang serupa dengan metode shift-and-invert ARPACK dan menemukan vektor eigen terkait.

Dengan protokol komunikasi terbalik ARPACK, Anda tidak perlu menyimpan matriks secara eksplisit: Anda hanya perlu menyediakan dua fungsi yang menghitung:$3n \times 3n$

dan [ x y z ] → [ A 1 x + A 2 y + A 3 z y z$\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} -A_0 x \\ y \\ z \end{array}\right]$$\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} A_1 x + A_2 y + A_3 z \\ y \\ z \end{array}\right]$

$3\times n$

Mengenai transformasi invert, Anda dapat melakukan hal yang sama, yaitu mengimplementasikannya sendiri dengan menggunakan panggilan balik yang menghitung $x \mapsto M^{-1} x$$x \mapsto M x$$\lambda's$$\lambda^{-1}$$M^{-1}x$$M$$A_0$