Saya memiliki sistem persamaan -linear yang ingin saya pecahkan secara numerik:
f = ( f 1 , … , f n )
Sistem ini memiliki sejumlah karakteristik yang membuatnya sangat sulit untuk ditangani. Saya mencari ide tentang cara menangani sistem dengan lebih efektif.
Mengapa sistemnya sulit?
Fungsinya mirip dengan yang ini (tapi tentu saja dalam beberapa dimensi):
Mereka memiliki dataran tinggi yang datar yang dipisahkan oleh daerah perubahan yang mulus. Dalam 2D, Anda dapat membayangkan sesuatu seperti ini untuk satu :
Secara umum, setiap memiliki dua dataran tinggi yang dipisahkan oleh perubahan halus di sekitar hyperplane dimensi. n - 1
Fungsi seperti ini sulit ditangani dengan metode seperti Newton karena turunannya secara efektif nol pada dataran tinggi. Dalam banyak dimensi saya tidak dapat dengan mudah menemukan wilayah di mana tidak ada memiliki dataran tinggi — jika saya bisa, itu akan menyelesaikan masalah. Metode pembagian dua berfungsi dengan baik untuk , tetapi tidak menggeneralisasi dengan baik ke beberapa dimensi.
Fungsinya sangat lambat untuk dikomputasi. Saya mencari metode yang bisa mendapatkan perkiraan yang wajar dari root dalam iterasi sesedikit mungkin.
Fungsi dihitung dengan metode Monte Carlo. Ini berarti bahwa setiap kali mereka dihitung, saya mendapatkan nilai acak yang sedikit berbeda. Derivatif sulit diperkirakan. Setelah kita cukup dekat dengan root, suara akan mulai mendominasi, dan perlu menggunakan rata-rata untuk meningkatkan presisi. Idealnya mungkin untuk menggeneralisasi metode ke versi perkiraan stokastik yang setara (misalnya, Newton → Robbins-Monro).
Sistem ini berdimensi tinggi. bisa sebesar 10-20. Ketika , metode yang efektif mungkin adalah yang berikut: cobalah untuk mengikuti kontur yang didefinisikan oleh dan dan lihat di mana mereka berpotongan. Tidak jelas bagaimana ini akan digeneralisasi ke dimensi tinggi.n = 2 f 1 ( x 1 , x 2 ) = 0 f 2 ( x 1 , x 2 ) = 0
Apa lagi yang saya ketahui tentang sistem?
Tepatnya ada satu root (dari hasil teoritis).
Saya tahu nilai di dataran tinggi (katakanlah 0 dan 1 untuk ). i
x i f i ( ... , x i , ... ) x i - ∞ ∞ x j ≠ i memiliki hubungan khusus dengan : berubah secara monoton dari 1 menjadi 0 saat beralih dari ke . Ini berlaku untuk setiap nilai tetap dari .
sumber
Jawaban:
Karena ada satu root dan tidak ada kendala, Anda mungkin beruntung menempatkannya sebagai masalah optimisasi: meminimalkan jumlah (sepanjang setiap dimensi) dari kotak fungsi asli Anda.
Metode Optimasi Klasik kemungkinan akan gagal, tetapi metode heuristik seperti algoritma genetika atau CME-ES (adaptasi matriks kovarian dll - strategi evolusi) mungkin berhasil.
sumber