Pernyataan van der Houwen benar, tetapi itu bukan pernyataan tentang semua metode Runge-Kutta tingkat kelima. "Polinomial Taylor" yang ia maksudkan adalah (seperti yang Anda tahu) hanyalah polinomial derajat yang memperkirakan exp ( z ) untuk memesan p :halexp( z)hal
Phal( z) = ∑j = 1halzjj !
Untuk polinomial orde kelima, ternyata untuk ϵ kecil , sehingga wilayah kestabilan metode yang memiliki P 5 ( z ) sebagai polinomial kestabilannya tidak termasuk lingkungan asal mana pun pada sumbu imajiner . Itulah, tepatnya, apa yang dikatakan van der Houwen.| P5( i ϵ ) | > 1ϵP5( z)
Sumber kebingungan Anda yang paling mungkin adalah apa yang dimaksud dengan "metode Runge-Kutta urutan kelima". Ada (tak terhingga) banyak metode Runge-Kutta orde kelima, tetapi yang paling terkenal tidak memiliki sebagai polinomial stabilitasnya. Mengapa? Seperti yang dibuktikan oleh John Butcher , metode Runge-Kutta orde lima harus memiliki setidaknya enam tahap . Biasanya, polinomial stabilitas suatu metode dengan enam (atau lebih) tahapan akan memiliki derajat enam (atau lebih). Misalnya, masing-masing metode urutan kelima yang tercantum pada halaman Wikipedia ini menggunakan tepat enam tahap dan memiliki polinomial stabilitas derajat enam.P5( z)
Apakah mungkin untuk metode kelima untuk memiliki sebagai polinomial stabilitas? Iya; metode ekstrapolasi eksplisit orde kelima (seperti yang terkenal yang diulas dalam makalah ini ) akan melakukannya. Perhatikan juga bahwa metode Runge-Kutta tahap- p dengan polinomial stabilitas P 5 ( z ) akan akurat untuk memesan 5 untuk ODE linier, meskipun tidak untuk ODE nonlinear.P5( z)halP5( z)
Akhirnya, mudah untuk membuat kesalahan saat menentukan tingkat interval stabilitas imajiner untuk metode Runge-Kutta tingkat tinggi. Itu karena batas wilayah stabilitas untuk metode semacam itu terletak sangat dekat dengan sumbu imajiner . Oleh karena itu, kesalahan pembulatan dapat menyebabkan kesimpulan yang salah; hanya perhitungan yang tepat yang harus digunakan (tentu saja, relevansi batas wilayah stabilitas untuk tujuan praktis dalam keadaan ini tentu bisa diperdebatkan).
Sebagai contoh, berikut adalah plot wilayah stabilitas metode orde lima dari pasangan Fehlberg 5 (4):
Interval stabilitas imajiner kosong, tetapi Anda tidak dapat mengetahui dari gambar pada resolusi ini! Perhatikan bahwa wilayah tersebut jelas termasuk bagian dari sumbu imajiner, tetapi tidak ada interval tentang asal.
Sementara itu, berikut adalah plot untuk metode urutan kelima dari pasangan Dormand-Prince 5 (4):
[ - 1 , 1 ]
Phal( z)
Anda mungkin juga tertarik dengan paket NodePy , yang menghasilkan plot di atas dan yang dapat digunakan untuk secara akurat menentukan hal-hal seperti interval stabilitas imajiner suatu metode (disclaimer: I create NodePy).