Apa perbedaan antara perkiraan kesalahan 'a priori' dan 'posteriori' dalam analisis numerik?

Saya telah belajar tentang Metode Elemen Hingga (juga sedikit tentang metode numerik lainnya) tetapi saya tidak tahu apa sebenarnya definisi dari dua kesalahan dan perbedaan di antara mereka?

Perbedaan antara perkiraan apriori dan posterior adalah dalam bentuk sisi kanan :$C(h)$

• Dalam perkiraan apriori , sisi kanan tergantung pada (biasanya secara eksplisit) dan , tetapi tidak pada . Misalnya, perkiraan a priori khas untuk pendekatan elemen hingga dari persamaan Poisson akan memiliki bentuk dengan konstanta tergantung pada geometri domain dan mesh. Pada prinsipnya, sisi kanan dapat dievaluasi sebelum menghitung$h$$u$$u_h$$-\Delta u = f$

  $$\|u-u_h\|_{L^2} \leq c h^2 |u|_{H^2},$$ $c$ (karena itu namanya), sehingga Anda dapat memilih h sebelum menyelesaikan apa pun. Dalam praktiknya, baik c maupun | kamu | $u_h$$h$$c$ diketahui (Andaadalah yang Anda cari di tempat pertama), tetapi Anda kadang-kadang bisa mendapatkan estimasi urutan-atau-besarnya untukcdengan secara hati-hati memeriksa buktinya dan untuk| kamu| menggunakan dataf(yang diketahui). Penggunaan utama adalah sebagai perkiraan kualitatif - ini memberi tahu Anda bahwa jika Anda ingin membuat kesalahan lebih kecil dengan faktor empat, Anda perlu membagi duah.$|u|_{H^2}$$u$$c$$|u|$$f$$h$

• Dalam perkiraan posteriori , sisi kanan tergantung pada dan u h , tetapi tidak pada u . Estimasi posterior berbasis residu sederhana untuk persamaan Poisson adalah ‖ u - u h ‖ L 2 ≤ c h ‖ f + Δ u h ‖ H - 1 , yang secara teori dapat dievaluasi setelah menghitung u h . Dalam praktiknya, H - $h$$u_h$$u$

  $$\|u-u_h\|_{L^2} \leq c h \|f+\Delta u_h\|_{H^{-1}},$$ $u_h$$H^{-1}$norma yang bermasalah untuk menghitung, sehingga Anda akan lebih memanipulasi sisi kanan untuk mendapatkan unsur-bijaksana terikat mana jumlah pertama adalah di atas elemen K dari triangulasi, h K adalah ukuran K , jumlah kedua adalah di atas semua batas elemen F , dan j ( ∇ u h ) menunjukkan lompatan turunan normal u h melintasi F . Ini sekarang sepenuhnya dapat dihitung setelah mendapatkan u h , kecuali untuk konstanta c . Jadi sekali lagi penggunaannya terutama kualitatif - ini memberi tahu Anda elemen mana yang memberikan kontribusi kesalahan lebih besar daripada yang lain, jadi alih-alih mengurangi $$\|u-u_h\|_{L^2} \leq c \left(\sum_{K} h_K^2 \|f+\Delta u_h\|_{L^2(K)} + \sum_{F} h_K^{3/2} \|j(\nabla u_h)\|_{L^2(F)}\right),$$ $K$$h_K$$K$$F$$j(\nabla u_h)$$u_h$$F$$u_h$$c$$h$secara seragam, Anda cukup memilih beberapa elemen dengan kontribusi kesalahan besar dan membuatnya lebih kecil dengan membaginya lagi. Ini adalah dasar dari metode elemen hingga adaptif .