Apa state-of-the-art dalam pendekatan integral yang sangat berosilasi baik dalam satu dimensi dan dimensi yang lebih tinggi untuk presisi yang sewenang-wenang?
quadrature
precision
numerical-analysis
Quadrescence
sumber
sumber
Jawaban:
Saya tidak sepenuhnya terbiasa dengan apa yang sekarang dilakukan untuk cubature (integrasi multidimensi), jadi saya akan membatasi diri ke rumus quadrature.
Ada sejumlah metode efektif untuk kuadratur integral osilasi. Ada metode yang cocok untuk integral osilasi terbatas, dan ada metode untuk integral osilasi terbatas.
Untuk integral osilasi tak terbatas, dua metode yang lebih efektif digunakan adalah metode Longman dan quadrature eksponensial ganda yang dimodifikasi karena Ooura dan Mori. (Tetapi lihat juga kedua makalah ini oleh Arieh Iserles.)
Metode Longman bergantung pada konversi integral osilasi ke dalam seri bolak-balik dengan memisahkan interval integrasi, dan kemudian menjumlahkan seri bolak-balik dengan metode transformasi urutan. Misalnya, ketika mengintegrasikan integral osilasi formulir
satu mengubah ini menjadi jumlah bolak-balik
Ketentuan jumlah bolak-balik ini dihitung dengan beberapa metode quadrature seperti skema Romberg atau Gaussian quadrature. Metode asli Longman menggunakan transformasi Euler , tetapi implementasi modern menggantikan Euler dengan metode percepatan konvergensi yang lebih kuat seperti transformasi Shanks atau transformasi Levin .
The quadrature eksponensial ganda metode, di sisi lain, membuat perubahan pintar variabel, dan kemudian menggunakan aturan trapesium untuk numerik mengevaluasi terpisahkan berubah.
Untuk integral osilasi terbatas, Piessens (salah satu kontributor QUADPACK) dan Branders, dalam dua makalah , merinci modifikasi quadrature Clenshaw-Curtis (yaitu, membangun ekspansi polinomial Chebyshev dari bagian noncillillatory dari integand). Metode Levin , di sisi lain, menggunakan metode kolokasi untuk quadrature. (Saya diberi tahu bahwa sekarang ada versi yang lebih praktis dari siaga lama, metode Filon, tapi saya tidak punya pengalaman dengannya.)
Ini adalah metode yang saya ingat begitu saja; Saya yakin saya sudah lupa metode bagus lainnya untuk integral osilasi. Saya akan mengedit jawaban ini nanti jika saya mengingatnya.
sumber
Pada awalnya, metode integrasi osilasi difokuskan pada osilator tertentu. Seperti yang dikatakan JM , yang menonjol termasuk metode Filon dan metode Clenshaw-Curtis (keduanya terkait erat) untuk integral rentang terbatas, dan metode berbasis ekstrapolasi seri dan metode eksponensial ganda Ooura dan Mori untuk integral rentang tak hingga.
Baru-baru ini, beberapa metode umum telah ditemukan. Dua contoh:
Metode Huybrechs dan Vandewalle didasarkan pada kelanjutan analitik di sepanjang jalur kompleks di mana integrand non-osilasi ( Huybrechs dan Vandewalle 2006 ).
Tidak ada perbedaan yang diperlukan antara metode untuk integral rentang terbatas dan tak hingga untuk metode yang lebih umum, karena transformasi pemadatan dapat diterapkan ke integral rentang tak terbatas, yang mengarah ke integral berosilasi kisaran terbatas yang masih dapat diatasi dengan metode umum, meskipun dengan osilator yang berbeda.
Metode Levin dapat diperluas ke beberapa dimensi dengan mengulangi dimensi dan cara lain, tetapi sejauh yang saya tahu semua metode yang dijelaskan dalam literatur sejauh ini memiliki titik sampel yang merupakan produk luar dari titik sampel satu dimensi atau beberapa hal lainnya. yang tumbuh secara eksponensial dengan dimensi, sehingga cepat lepas kendali. Saya tidak mengetahui metode yang lebih efisien untuk dimensi tinggi; jika ada yang dapat ditemukan sampel pada grid jarang dalam dimensi tinggi akan berguna dalam aplikasi.
Membuat rutinitas otomatis untuk metode yang lebih umum mungkin sulit di sebagian besar bahasa pemrograman (C, Python, Fortran, dll) di mana Anda biasanya berharap untuk memprogram integrand Anda sebagai fungsi / rutin dan meneruskannya ke rutin integrator, karena semakin banyak metode umum perlu mengetahui struktur integrand (bagian mana yang terlihat berosilasi, apa jenis osilator, dll) dan tidak dapat memperlakukannya sebagai "kotak hitam".
sumber
Anda juga dapat memeriksa karya Marnix Van Daele dan rekan penulis. Lihat misalnya ini dan ini .
sumber