Mari kita mulai dengan masalah formulir
dengan seperangkat kondisi batas yang diberikan ( Dirichlet , Neumann , Robin , Periodic , Bloch-Periodic ). Ini sesuai dengan menemukan nilai eigen dan vektor eigen untuk beberapa operator , dalam beberapa kondisi geometri, dan batas. Seseorang dapat memperoleh masalah seperti ini dalam akustik, elektromagnetisme, elastodinamika, mekanika kuantum, misalnya.
Saya tahu bahwa seseorang dapat mendiskritisasi operator menggunakan metode yang berbeda, misalnya, Metode Perbedaan Hingga untuk mendapatkan
atau menggunakan, Metode Elemen Hingga untuk mendapatkan
Dalam satu kasus mendapatkan masalah nilai eigen dan masalah nilai eigen umum di lain. Setelah mendapatkan versi diskrit dari masalah, orang menggunakan solver untuk masalah nilai eigen.
Beberapa pemikiran
- Metode Solusi yang Diproduksi tidak berguna dalam kasus ini karena tidak ada istilah sumber untuk menyeimbangkan persamaan.
Seseorang dapat memverifikasi bahwa matriks dan [ M ] ditangkap dengan baik menggunakan masalah domain frekuensi dengan istilah sumber, misalnya
dari pada
Tapi ini tidak akan memeriksa masalah solver.
Mungkin, orang dapat membandingkan solusi untuk metode yang berbeda, seperti FEM dan FDM.
Pertanyaan
Apa cara untuk memverifikasi solusi (pasangan eigen-nilai eigen) untuk skema diskritisasi karena metode numerik seperti FEM dan FDM untuk masalah nilai eigen?
sumber
Jawaban:
Saya menyadari pertanyaan ini sudah tua, tetapi saya baru melihatnya dan merasa menarik. Di masa lalu, saya telah mengikuti saran yang ditemukan dalam komentar pertanyaan ini, ditambah dengan beberapa kasus yang sedikit lebih rumit yang saya kenal dalam literatur (Orr - Sommerfeld selalu berguna).
Namun, saya juga mengetahui beberapa literatur tentang masalah nilai eigen tidak homogen yang muncul ketika membangun solusi buatan. Ada beberapa diskusi tentang masalah seperti ini di sini: DOI: 10.1016 . Para penulis ini juga menyarankan apa yang disebut Metode Palang Diproduksi (MXS, saya kira) untuk menghindari masalah ini sama sekali, yang saya tidak akan berpura-pura mengerti saat ini, tetapi bisa sangat berguna.
sumber
Untuk turunan orde kedua (dan Laplacian pada domain sederhana), tersedia ekspresi untuk pasangan eigen diskrit (yaitu setelah diskritisasi). Misalnya, untuk perbedaan hingga, pasangan eigen tercantum di sini .
Ekspresi untuk pasangan eigen dengan diskritisasi elemen hingga dapat ditemukan serupa (untuk diskritisasi P1 dan P2).
sumber