Konstruksi dasar elemen hingga hingga / sesuai untuk mesh segitiga atau tetrahedral

Dalam makalah Hierarchical Conforming Finite Element Methods untuk Persamaan Biharmonic , P. Oswald mengklaim elemen tipe Clough-Tocher memiliki kontinuitas sambil menjadi polinomial kubik pada setiap segitiga. Dia tidak memberikan satu set fungsi dasar eksplisit hanya derajat standar kebebasan pada titik-titik quadrature.$C^1$

Demikian pula, dalam buku Teori Matematika Metode Elemen Hingga Bab 3, penulis memberi kita konstruksi elemen hingga Hermit kubik, tetapi mereka tidak menyebutkan kontinuitas elemen Hermit kubik.

Namun, dalam makalah Kompleks diferensial dan stabilitas numerik , Doulgas Arnold mengusulkan bahwa untuk ruang diskrit / sesuai, kita harus menggunakan elemen hingga Hermite quintic (atau lebih tepatnya Argyris), yang sangat rumit untuk diekspresikan secara eksplisit.H $C^1$$H^2$

Jadi inilah pertanyaanku:

(1) Apakah ada kertas yang muncul dengan formula eksplisit untuk elemen hingga / sesuai pada mesh segitiga atau tetrahedral?H $C^1$$H^2$

(2) Apakah sebaiknya kubik menjadi tingkat minimum persyaratan polinomial untuk kontinuitas ?$C^1$

Elemen hermit kubik memiliki turunan normal kontinu tetapi tidak kontinuitas penuh . Secara khusus, turunan normal mungkin tidak cocok pada batas dua elemen, jauh dari simpul. Jika Anda ingin kontinuitas penuh Anda harus menggunakan elemen Argyris atau Hsieh-Clough-Tucker atau sesuatu. Saya merekomendasikan diskusi di bab 6 buku elemen hingga Ciarlet.C $C^1$$C^1$

Tingkat polinomial yang diperlukan untuk kontinuitas akan tergantung pada dimensi spasial Anda, tetapi dalam 2D ​​atau 3D saya tidak berpikir Anda bisa lolos dengan polinomial kurang dari kubik. Anda dapat mempertimbangkan beberapa jenis metode yang tidak sesuai yang memungkinkan ruang elemen hingga yang lebih sederhana.$C^1$

Saya merujuk Anda ke buku Splines on Triangulations . Saya tidak dapat menemukan salinan saya saat ini untuk memberikan jawaban yang lebih baik, tetapi saya ingat diskusi / teorema pada urutan polinomial yang diperlukan untuk ruang . Jika saya ingat dengan benar, Lai membuktikan bahwa dalam kondisi tertentu tidak apa-apa, tetapi selalu cukup. p = 3 p = $C^1$$p=3$$p=5$

Sayangnya, saya juga ingat bahwa Lai kemudian tidak menunjukkan bagaimana membangun ruang , hanya membuktikan mereka ada diberikan triangulasi dan ruang spline. Setelah ia memiliki bukti ini, ia menyelesaikan aplikasinya dengan persamaan kendala linear tambahan untuk menegakkan kondisi .C $C^1$$C^1$

Anda dapat merujuk ke halaman-halaman berikut untuk daftar lengkap fungsi-fungsi dasar untuk Argyris: FEMList.pdf entri Wikipedia (Prancis)

Juga, Anda dapat menggunakan ArgyrisPack VT-ICAM yang saya dan rekan saya kembangkan.