Misalkan matriks berikut diberikan [ 0.500 - 0,333 - 0,167 - 0.500 ,667 - 0,167 - 0.500 - 0,333 0,833 ] dengan transposnya A T . Produk A T A = G menghasilkan [ 0,750 - 0,334 - 0,417 - 0,334 0,667 - 0,333 - 0,417 - 0,333 0,750 ] ,
di mana adalah matriks Laplacian . Perhatikan bahwa matriks A dan G adalah peringkat 2, dengan nol eigenvalue sesuai dengan vektor eigen 1 n = [ 1 1 1 ] T .
Saya bertanya-tanya apa yang akan menjadi cara untuk mendapatkan jika hanya G yang diberikan. Saya mencoba eigendecomposition G = U E U T , dan kemudian menetapkan A ' = U E 1 / 2 , tetapi diperoleh hasil yang berbeda. Saya kira ini ada hubungannya dengan defisiensi peringkat. Bisakah seseorang menjelaskan ini? Jelas, contoh di atas adalah untuk ilustrasi; Anda dapat mempertimbangkan dekomposisi matriks Laplacian umum dari formulir di atas.
Karena, misalnya, dekomposisi Cholesky dapat digunakan untuk menemukan , dekomposisi pada G dapat menghasilkan banyak solusi. Saya tertarik pada solusi yang dapat dinyatakan sebagai A = ( I - 1 n w T ) , di mana saya adalah 3 × 3 matriks identitas, 1 n = [ 1 1 1 ] , dan w menjadi beberapa vektor memuaskan w T 1 n = 1
Jawaban:
Memperbarui:
sumber
Terakhir, seseorang dapat secara konstruktif mendefinisikan akar kuadrat matriks unik dari matriks semi-pasti positif Hermitian melalui dekomposisi nilai eigennya, katakanlah
sumber
Saya akan mengatakan bahwa situasi ini tidak berbeda dengan mengambil akar kuadrat di antara bilangan real menggunakan bilangan kompleks: di sana, secara umum Anda memiliki dua akar, dan Anda harus mengatakan yang mana yang Anda ingin jadikan jawabannya unik.
sumber
sumber