Dapatkah skema numerik digunakan untuk menentukan posisi yang baik dari masalah nilai awal atau batas?

Saya tahu bahwa kita dapat menggunakan teknik analisis matematis untuk membuktikan apakah IVP atau BVP memiliki solusi, unik, dan bergantung terus menerus pada batas / nilai awal. Untuk beberapa PDE, terutama PDE non-linear, sangat sulit, jika bukan tidak mungkin, untuk membuktikan posisi yang baik. Apakah ada teknik numerik apa pun untuk memverifikasi apakah suatu masalah ditanggapi dengan baik atau tidak?

Secara umum, tidak. Solusi numerik kadang-kadang dapat digunakan sebagai ukuran kasar untuk menunjukkan apakah kondisi batas cukup, untuk mengidentifikasi domain "mengambang" misalnya, tetapi ada banyak kasus di mana solusi diskrit memberikan Anda informasi yang menyesatkan tentang masalah kontinum.

1. Adveksi-difusi memerlukan kondisi batas pada semua batas, tetapi sistem diskrit tidak dapat menggunakan kondisi batas pada arus keluar (bukan kondisi Neumann yang homogen, maksud saya sebenarnya bukan kondisi batas). Tidak hanya itu, itu lebih akurat daripada representasi diskrit dari kondisi batas kontinum. Lihat Papanastasiou, Malamataris, dan Ellwood 1992 dan Griffiths 1997 untuk detailnya. Kondisi batas yang sama juga penting untuk slip pada permukaan melengkung, lihat Behr 2004 .

2. "Fenomena carbuncle" mempengaruhi metode tertentu untuk aliran kompresif. Ini tidak dipahami dengan baik, tetapi skema numerik yang tampaknya kuat dapat menyatu dengan solusi palsu. Contoh dari Robinet et al. 2000

3. Solusi palsu untuk Navier-Stokes yang tidak dapat dimampatkan, dalam rezim laminar. Contoh rongga sederhana yang digerakkan oleh tutup diberikan dalam Schreiber dan Keller 1983 .

4. Sistem hukum konservasi hiperbolik dengan ukuran relatif non-fisik dari disipasi numerik. Beberapa disipasi numerik selalu diperlukan, tetapi jika tidak metode yang kuat (misalnya Godunov) dapat secara sistematis menyatu ke hasil yang salah jika disipasi numerik akhirnya menjadi non-fisik. Contoh sederhana diberikan dalam Mishra dan Spinolo 2011di mana metode Godunov standar konvergen ke hasil yang salah untuk air dangkal 1D linierisasi. Ini menampilkan dirinya dalam bentuk yang lebih dalam dalam simulasi eddy besar. Viskositas eddy adalah manifestasi fisik dari skala subgrid, tetapi jika disipasi numerik (tidak dapat dihindari) lebih besar dari disipasi fisik, simulasi dapat menyatu ke hasil yang salah secara sistematis. Dalam praktiknya, penutupan subgrid untuk viskositas eddy sangat penting. Ini adalah masalah mengambil batas tunggal di sepanjang jalur (fisik) yang benar.

5. Efek penguncian dalam mode elastisitas atau kotak-kotak pada aliran yang tidak dapat dimampatkan. Ini adalah karena memilih ruang perkiraan yang tidak stabil dan sekarang sangat dipahami dengan baik, setidaknya untuk masalah linier, tetapi mengandalkan solusi numerik untuk menyimpulkan posisi yang baik dapat membuat Anda menyimpulkan bahwa batas yang tidak dapat dimampatkan itu dipalsukan.