masalah SVD tertimbang?

Diberikan dua matriks $A$ dan $B$ , saya ingin mencari vektor $x$ dan $y$ , sehingga,

min \sum_{i j} (A_{i j} - x_{i} y_{j} B_{i j})^{2} .

$\min \sum_{ij} (A_{ij} - x_i y_j B_{ij})^2.$ Dalam bentuk matriks, saya mencoba untuk meminimalkan norma Frobenius dari

A - diag (x) \cdot B \cdot diag (y) = A - B \circ (x y^{⊤})

$A - \mbox{diag}(x) \cdot B \cdot \mbox{diag}(y) = A - B \circ (x y^\top)$ .

Secara umum, saya ingin mencari beberapa vektor satuan $x$ dan $y$ dalam bentuk

min \sum_{i j} (A_{i j} - \sum_{k = 1}^{n} s_{i} x_{i}^{(k)} y_{j}^{(k)} B_{i j})^{2} .

$\min \sum_{ij} (A_{ij} - \sum_{k=1}^n s_i x_i^{(k)} y_j^{(k)} B_{ij})^2.$ di mana

s_{i}

$s_i$ adalah koefisien nyata positif.

Ini sama dengan dekomposisi nilai singular (SVD) ketika $(B)_{ij} = 1$ .

Adakah yang tahu apa sebutan masalah ini? Apakah ada algoritma terkenal seperti SVD untuk solusi masalah seperti itu?

(dimigrasikan dari math.SE)

linear-algebra matrix reference-request Memming
sumber

Saya percaya ini adalah SVD Generalized . Entri Wikipedia tidak terlalu detail, jadi Anda mungkin harus memeriksa sumber yang tertaut. Secara khusus, halaman 466 tautan Google buku ini mungkin bermanfaat.

ely

Bagi saya, ini tidak terlihat seperti SVD umum. Terutama karena B tidak harus diagonal atau simetris, sehingga setiap atau dapat muncul berkali-kali dalam jumlah.

x

$x$

y

$y$

Victor Liu

B tidak perlu diagonal atau simetris dalam SVD umum. Kedua tautan yang saya berikan menunjukkan bahwa A dan B masing-masing dapat berupa matriks umum yang bernilai kompleks dengan dimensi M-by-N dan P-by-N.

ely

Terima kasih atas sarannya @EMS. Saya akan sangat menghargai jika Anda dapat menguraikan koneksi.

Memming

Jawaban:

Ini jauh dari SVD umum.

Jika B adalah matriks positif, Anda dapat menggunakan paket saya BIRSVD http://www.mat.univie.ac.at/~neum/software/birsvd/

Makalah ini http://www.mat.univie.ac.at/~neum/software/birsvd/svd_incomplete_data.pdf yang menjelaskan metode di sana juga memberikan referensi yang dapat Anda pertimbangkan untuk melakukan pencarian literatur.

Arnold Neumaier
sumber

Ah, mengubah masalah menjadi pendekatan peringkat rendah tertimbang! Terima kasih banyak!

Memming

Untuk menambahkan rincian ke jawaban @ Arnold, masalah ini dapat diubah menjadi masalah pendekatan peringkat rendah tertimbang di mana tujuannya adalah untuk meminimalkan norma tertimbang, bukan norma Frobenius. mana dan menunjukkan produk Schur (alias Produk Hadamard).

| | C - \sum s_{i} x_{i} y_{i}^{⊤} | |_{W}^{2}

$||C - \sum s_i \mathbf{x_i} \mathbf{y_i^\top}||^2_W$

| | C | |_{W} = | | C \circ W | |_{F}

$||C||_W = ||C \circ W||_F$

\circ

$\circ$

Memming

Iya. Ini memberi nama yang bagus untuk masalah Anda. Bagaimana mengatasinya adalah masalah yang berbeda. Ini bukan masalah standar dan cukup sulit untuk menemukan algoritma yang cepat dan andal.

Arnold Neumaier

@ArnoldNeumaier ini bagus, terima kasih. apakah mungkin untuk mendapatkan lisensi dan pemberitahuan hak cipta dengan kode Anda? Seperti sekarang ini adalah perangkat lunak berpemilik. Jika Anda melepaskannya di bawah GPLv3 atau yang kompatibel, ia mungkin menemukan jalannya ke paket aljabar linier GNU Octave.

JuanPi