Mengapa tidak mungkin menciptakan pengamat untuk sistem yang tidak sepenuhnya dapat diamati ini?

Pertimbangkan massa titik 1D bergerak sepanjang sumbu. Sebuah kekuatan$u$diterapkan sebagai kontrol. Tidak ada gravitasi atau kekuatan lain yang terlibat. Sistem ini dapat digambarkan dalam persamaan ruang keadaan sebagai:

$$\begin{align} A &= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \\ B &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dfrac{1}{M} \end{bmatrix} \\ C &= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ D &= [0] \end{align}$$

Sistem yang ditampilkan dapat dikontrol, tetapi tidak dapat diamati. Bahkan tidak dapat diamati secara struktural dan tentu saja tidak sepenuhnya dapat diamati. Dengan demikian, seharusnya tidak mungkin untuk membangun pengamat untuk sistem ini.

Namun, jika saya mengetahui keadaan awal sistem, saya dapat menghitung keadaan penuh setiap saat, yaitu dengan mengintegrasikan keluaran sistem. Bagaimana ini sejalan dengan konsep observability? Bagaimana saya memasukkan keadaan awal ke dalam persamaan?

Saya tidak dapat menemukan kesalahan dalam pemikiran saya, tetapi saya yakin ada satu. Apakah saya salah memahami observabilitas?

Observabilitas berarti bahwa Anda dapat memperkirakan kondisi lengkap hanya dengan menggunakan output, tanpa mengetahui keadaan awal. Dengan kata lain, Anda harus mencari tahu di mana Anda berada tanpa mengetahui di mana Anda awalnya.

Alasan yang lebih praktis mengapa ini jarang berhasil adalah ketika Anda dibatasi oleh sensor yang tidak sempurna dan waktu pengambilan sampel yang tidak nol, mengambil bagian integral dari akselerasi akan menyebabkan kesalahan dalam estimasi posisi dan kecepatan Anda. Jadi, bahkan jika Anda tahu keadaan awal Anda akan "kehilangan jejak" dari waktu ke waktu.