Persamaan diferensial dari jembatan pemuatan (yang disederhanakan)

Saya mengalami kesulitan untuk menghitung persamaan diferensial dari jembatan pemuatan yang disederhanakan.

Sistem dibuat seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini (hanya sketsa):

Jika saya menggunakan pendekatan Newton, saya mendapatkan persamaan berikut dengan mengabaikan gesekan, hambatan udara, dan perubahan panjang tali:

$$m_k \ddot{x}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin(\varphi) \\ m_G \ddot{x}_{G} = -F_{S} \sin(\varphi) \\ m_G \ddot{z}_{G} = m_{G} g - F_{S} \cos(\varphi)$$

Ketika saya melihat hubungan kinematik dari gripper (lingkaran dengan bobot ) saya mendapatkan persamaan berikut.$m_G$

$$x_{G} = x_{k} + l \sin(\varphi) \\ z_{G} = l \cos(\varphi)\\ \varphi = \omega t = \dot{\varphi} t$$

Saya tahu bobot dan dan panjang tetapi nilainya tidak penting sekarang.m G$m_k$$m_G$$l$

Tujuannya adalah untuk memiliki dua persamaan diferensial di akhir. Satu persamaan harus menunjukkan hubungan antara gaya penggerak dan jalur troli (dengan derivasi) Persamaan lain harus menunjukkan hubungan antara gaya penggerak dan sudut tali .x k F A φ $F_A$$x_k$$F_A$$\varphi_G$

Setelah itu saya ingin membuat fungsi transfer (Transformasi Laplace dll) tetapi itu tidak masalah.

Masalahnya adalah saya tidak bisa menemukan persamaan itu. Pendekatan terbaik saya sejauh ini terlihat seperti ini:

$$m_{k} \ddot{x}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin(\varphi)$$

Jadi itu artinya jika

$$m_G \ddot{x}_{G} = -F_{S} \sin(\varphi) \\ F_{S} \sin(\varphi) = -m_{G} \ddot{x}_{G} \\ $$

Saya bisa mengatakan:

$$m_{k} \ddot{x}_{k} = F_{A} - m_{G} \ddot{x}_{G} \\ $$

dan jika saya mendapatkan seperti ini:$x_{G}$

$$x_{G} = x_{k} + l \sin(\varphi) \\ \dot{x}_{G} = \dot{x}_{k} + l \dot{\varphi} \cos(\varphi) \\ \ddot{x}_{G} = \ddot{x}_{k} + l \left[ \ddot{\varphi} \cos(\varphi) - \dot{\varphi}^{2} \sin(\varphi) \right]$$

Saya sebenarnya terjebak di sini karena saya tidak dapat menemukan cara untuk menghilangkan dari persamaan. Teorema tambahan tidak membantu saya sama sekali (atau saya menggunakannya dengan benar).$\varphi$

Adakah yang tahu bagaimana saya harus melanjutkan pada titik ini? Saya harap saya tidak membutuhkan solusi lengkap. Saya sebenarnya lebih tertarik melakukan ini sendiri dan berharap mendapat dorongan ke arah yang benar.

Dugaan saya adalah bahwa Anda mungkin memerlukan persamaan diferensial lain untuk gerakan sudut, yang akan melibatkan inersia, seperti:

$$m_G l^2 \ddot{\varphi} = m_G g l \sin(\varphi)$$

yang menghasilkan:

$$\ddot{\varphi} = \frac{g}{l} \sin(\varphi)$$

Anda kemudian dapat menggunakan pendekatan sudut kecil:

$$\sin(\varphi) \simeq \varphi$$

Lihatlah contoh bandul terbalik .

Kinematika dan dinamika

Itulah langkah-langkah untuk menyelesaikan masalah-masalah seperti ini.

1. Analisis kinematika sistem.

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ = +o → r R $_{o}\vec{r}_{OR}$$_{o}\vec{r}_{RP}$

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$$_{o}\vec{r}_{OR}$$R(\varphi) _{B}\vec{r}_{RP}$

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$$\big(x_{k}î + 0j + 0k \big)$$\big(\sin(\varphi)l î + 0j + \cos(\varphi)lk\big)$

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ =$\big[\big(x_{k}+\sin(\varphi)l\big)î + 0j + \big(\cos(\varphi)l\big)k\big]$

Catatan: adalah matriks rotasi dan .$R(\varphi)$$x_{G} = x_{k}+\sin(\varphi)l$

Mengambil turunan waktu:

$\hspace{5.em}$ $\dot{x_{G}}$ =$\dot{x_{k}}+\cos(\varphi)\dot{\varphi}l$

$\hspace{5.em}$ $\ddot{x_{G}}$ =$\ddot{x_{k}} + l\cos(\varphi)\ddot{\varphi} - l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}$

2. Gunakan persamaan Newton:

$\hspace{5.em}$ $m_{k}\ddot{x_{k}} = F_{A} - m_{G}\ddot{x_{G}}$

Pengganti :$x_{G}$

$\hspace{5.em}$ $m_{k}\ddot{x_{k}} = F_{A} - m_{G}\big(\ddot{x_{k}} + l\cos(\varphi)\ddot{\varphi} - l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)$

$\hspace{5.em}$ $\big(m_{k}+m_{G}\big)\ddot{x_{k}} + m_{G}\big(l\cos(\varphi)\ddot{\varphi}\big) - m_{G}\big(l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)= F_{A}$

Untuk sumbu z:

$\hspace{5.em}$ $F_{Z}$ =$m_{G}g-l\big(\cos(\varphi)\dot{\varphi}^{2}+\sin(\varphi)\ddot{\varphi}\big)$

3. Gunakan hukum kedua Newton untuk rotasi:

$\hspace{5.em}$ $I\ddot{\varphi}$ =$F_{Z}l\sin(\varphi)-\big(m_{G}\ddot{x_{G}}\big)l\cos(\varphi)$

$F_{Z}l\sin(\varphi) = m_{G}gl\sin(\varphi)-l^{2}\big(\cos(\varphi)\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}+\sin(\varphi)^{2}\ddot{\varphi}\big)$

$\big(m_{G}\ddot{x_{G}}\big)l\cos(\varphi) = m_{G}\big(l^{2}\cos(\varphi)^{2}\ddot{\varphi}\big) - m_{G}\big(l^{2}\cos(\varphi)\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)+m_{G}\ddot{x_{K}}l\cos(\varphi)$

Menggunakan identitas trigonometri:

$\hspace{5.em}$ m G glsin(φ)-m k lcos(φ) ¨ x $\big(I+m_{G}l^{2}\big)\ddot{\varphi}$ =$m_{G}gl\sin(\varphi)-m_{k}l\cos(\varphi)\ddot{x_{k}}$

4. Selesai! Sekarang Anda dapat beristirahat ... $\ddot\smile$