Aplikasi / generalisasi dari teorema Debreu

Saya ingin tahu bagaimana teorema terakhir dalam makalah Debreu "Agen ekonomi tetangga" (La Decision 171 (1969): 85-90; dicetak ulang dalam G. Debreu, Ekonomi Matematika: Dua Puluh Makalah dari Gerard Debreu (1986), hlm. 173) -178) telah digunakan:

Dalil. Untuk ruang topologi dan ruang metrik , misalkan menjadi pemetaan set-nilai dari ke yang bernilai kompak (yaitu kompak untuk setiap ) dan kontinu . Lebih lanjut, untuk setiap biarkan menjadi preorder total pada \ varphi (e) sedemikian sehingga set \ {(e, x, y) \ dalam M \ kali H \ kali H: x \ lesssim_e y \} ditutup. Kemudian pemetaan set-bernilai \ varphi ^ 0 dari M ke H di mana$M$$H$$\varphi$$M$$H$$\varphi(e)$$e \in M$$e \in M$$\lesssim_e$$\varphi(e)$$\{(e, x, y) \in M \times H \times H : x \lesssim_e y\}$$\varphi^0$$M$$H$

$\varphi^0(e) = \{z \in \varphi(e) : x \lesssim_e z \ \ \mbox{for all} \ x \in \varphi(e)\}, \quad e \in M,$

bernilai kompak dan hemi-kontinu atas .

Perhatikan bahwa teorema tersebut mirip dengan Berge Maximum Theorem yang terkenal. Sebelum pernyataan teorema, Debreu menulis bahwa kasus khusus itu "telah berulang kali digunakan dalam teori keseimbangan ekonomi dan teori permainan", tetapi tidak memberikan referensi apa pun; dalam makalah itu sendiri, ini digunakan untuk membuktikan kelanjutan atas dari korespondensi permintaan untuk agen dalam ekonomi pertukaran.

Saya terutama tertarik pada apakah ada kegunaan atau generalisasi terbaru dari teorema ini, misalnya untuk pemetaan yang tidak dihargai kompak.

Pertanyaan: Apa beberapa contoh yang baik dari dan / atau referensi untuk aplikasi teorema di atas? Apakah sudah digeneralisasikan ke pemetaan yang tidak dihargai kompak?

Hasil ini memang merupakan versi teorema maksimum Berge. Jika ada fungsi kontinu sedemikian rupa sehingga jika dan hanya jika , seseorang dapat memperoleh hasilnya secara langsung dari teorema maksimum Berge. Jika adalah kompak secara lokal, seperti halnya jika , maka fungsi seperti itu selalu dapat ditemukan, ini mengikuti dari Teorema 1 di Mas-Colell's On the Continuous Representation of Preorders (paling tidak jika adalah metrizable, saya tidak yakin tentang hal itu). Lebih lanjut tentang "fungsi utilitas berkelanjutan bersama" dapat ditemukan dalam bab 8 dari Representasi pemesanan preferensi$u:M\times H\to\mathbb{R}$$x\preceq_e z$$u(e,x)\leq u(e,z)$$H$$H=\mathbb{R}^n$$M$, 1995, oleh Bridges & Mehta.

Sekarang Debreu tidak memiliki hasil seperti itu, jadi dia bekerja dengan hubungan preferensi dan pada dasarnya menegur teorema maksimum Berge (generalisasi secara langsung secara matematis). Kenapa dia melakukannya? Untuk memahami hal itu, orang perlu memahami pokok dari makalah Debreu, yaitu menemukan topologi tentang hubungan preferensi yang memiliki sifat-sifat unik dan membuat perilaku ekonomi berkelanjutan. Kebutuhan akan hasil seperti itu berasal dari literatur tentang ekonomi dengan rangkaian agen.

Apa artinya kontinum ekonomi agen adalah batas dari urutan ekonomi terbatas? Salah satu jawabannya adalah bahwa distribusi karakteristik agen menyatu dengan distribusi karakteristik dalam ekonomi kontinum, sehingga gagasan konvergensi adalah konvergensi dalam distribusi. Untuk membuat ide ini operasional, kita perlu melakukan topologi karakteristik agen. Sekarang seorang agen dicirikan oleh endowmen dan oleh kesukaannya (dan dalam model yang lebih umum dengan set konsumsinya). Ada topologi alami tentang endowmen, topologi Euclidean, tetapi tidak mudah untuk melakukan topologi preferensi, dan itulah yang dilakukan Debreu dalam makalahnya. Eksposisi pendekatan distribusi ini dapat ditemukan dalam Hildenbrand 1974, Core dan equilibria ekonomi besar .

Sekarang, ada kasus di mana seseorang ingin menerapkan teorema Berge untuk set pilihan yang tidak kompak. Ini bisa menjadi penting ketika mempelajari ekonomi dengan ruang komoditas berdimensi tak terbatas, di mana ditutup dan dibatasi tidak menyiratkan kekompakan. Salah satu cara untuk mengatasi masalah ini adalah menemukan satu set compact sehingga korespondensi bernilai compact dan bernilai non -tyty ketika terbatas pada set ini. Ada literatur besar, sangat teknis, tentang "permainan umum" atau "ekonomi abstrak" (pada dasarnya permainan normal di mana ruang strategi bergantung pada tindakan orang lain), dan secara implisit sering kali berisi generalisasi teorema Berge yang tidak kompak. Jika Anda bisa mendapatkan buku ini, lihat bab 4 dari Xian-Zhi Yuan 1999, Teori KKM dan Aplikasi dalam Analisis Nonlinear. Kesan saya, bagaimanapun, adalah bahwa hasil ini terbukti tidak berguna dalam aplikasi ekonomi. Untuk membuktikan keberadaan keseimbangan Walrasian dalam model dengan ruang komoditas berdimensi tak terbatas, orang biasanya menggunakan metode yang berbeda.