Transformasi Bernoulli dalam "A Close Form Solution to the Ramsey model" oleh Smith (2006)

Saya mencoba memahami cara Smith datang dari (1) dan (2) ke (6) dan (8).

Adakah yang bisa memberi saya petunjuk? Terima kasih!

Sudah diketahui bahwa dinamika konsumsi per kapita dan modal ditentukan oleh pasangan persamaan diferensial berikut: A Larutan$c$$k$

$$\begin{eqnarray} \dot{k} &=& k^\alpha - \delta k - c \tag{1} \\ \frac{{\dot c}}{c} &=& \sigma(\alpha k^{\alpha - 1} - \delta - \rho) \tag{2} \end{eqnarray}$$

Sistem persamaan (1) - (2) sangat tidak linier. Untuk mendekati solusi, tentukan rasio modal-output (transformasi Bernoulli) oleh dan rasio konsumsi-modal oleh . Menggunakan transformasi ini sistem dapat ditulis ulang sebagai Transformasi Bernoulli mengubah persamaan akumulasi modal [Persamaan (1)] menjadi persamaan diferensial linier , meskipun tidak otonom, dalam Persamaan (6). Meskipun penyederhanaan ini, sistem masih tidak memungkinkan solusi analitis. Persamaan (7) masih non-linear.$z = k^{1-\alpha}$$x = c/k$

$$\begin{eqnarray} \dot{z} &=& (1-\alpha)[1 - (\delta + x)z] \tag{6} \\ \frac{{\dot x}}{x} &=& \frac{\sigma \alpha - 1}{z} + \delta (1 - \sigma) - \rho\sigma + x \tag{7} \end{eqnarray}$$

Namun, anggaplah bahwa . Dalam kasus itu menghilang dari Persamaan (7), dan sistem menjadi rekursif: Persamaan (7) berkurang menjadi sementara berevolusi sesuai dengan Persamaan (6), mengingat proses pemaksaan ditentukan dalam Persamaan (8). Ini adalah persamaan logistik sederhana dan otonom.$\sigma = 1/\alpha$$z$

$$\frac{\dot{x}}{x} = - \frac{\delta(1- \alpha) \rho}{\alpha} + x \tag{8}$$ $z$$x$

Kutipan: Smith, William. (2006). Solusi Bentuk Tertutup untuk Model Ramsey. Kontribusi untuk Ekonomi Makro. 6.

Jika maka$z = k^{1-\alpha}$

$$\begin{eqnarray} \dot{z} &=& (1-\alpha)k^{1-\alpha-1}\dot{k} = (1-\alpha)k^{-\alpha} \dot{k} \\ &=& (1-\alpha) k^{-\alpha} [k^{\alpha} - \delta k - c] \\ &=& (1-\alpha) [1 - \delta k^{1-\alpha} - c k^{-\alpha}\color{blue}{(k/k)}] \\ &=& (1-\alpha) [1 - \delta z - c(k^{1-\alpha})/k] \\ &=& (1-\alpha) [1 - \delta z - x z] \end{eqnarray}$$

Saya akan meninggalkan untuk Anda berolahraga$\dot{c}/c$