Ketika Kontrol Optimal gagal (?)

Untuk "mengajukan pertanyaan", saya harus menyelesaikan model terlebih dahulu. Saya akan menghilangkan beberapa langkah tetapi tetap saja, ini akan membuat pos ini sangat lama - jadi ini juga ujian untuk melihat apakah komunitas ini menyukai pertanyaan semacam itu.

Sebelum memulai, saya mengklarifikasi bahwa ini mungkin terlihat benar-benar seperti model pertumbuhan neoklasik standar dalam waktu yang berkelanjutan, tetapi tidak : Ini berkaitan dengan satu individu, yang tidak "mewakili" orang lain dalam perekonomian di sekitarnya, sebuah ekonomi yang tidak dimodelkan. Kerangka kerja di sini adalah "penerapan Kontrol Optimal untuk masalah maksimalisasi satu individu". Ini adalah tentang kerangka kerja dan metode solusi Kontrol Optimal itu sendiri.

Kami memecahkan masalah maksimisasi utilitas antarwaktu dari seorang pengusaha kecil yang memiliki modal di perusahaannya, sementara ia membeli layanan tenaga kerja di pasar tenaga kerja yang sangat bersaing, dan ia menjual produknya (donat segar) di pasar barang yang sangat kompetitif. Kami menetapkan model dalam waktu terus menerus tanpa ketidakpastian (kondisi sosial ekonomi stabil), dan dengan cakrawala tak terbatas (pengusaha memimpikan banyak salinannya di masa mendatang secara berurutan):

$$\max_{c,\ell,k}\int_0^{\infty}e^{-\rho t}\ln c\,\text{d}t\\ \text{s.t.}\;\; \dot k = f(k,\ell) - w\ell - \delta k - c\\ \lim_{t\rightarrow \infty}e^{-\rho t}\lambda(t) k(t) = 0$$

di mana adalah konsumsi pengusaha, \ ln c adalah utilitas instan dari konsumsi, \ rho> 0 adalah tingkat preferensi waktu murni, k adalah modal perusahaan, \ delta adalah tingkat depresiasi modal, dan f (k, \ ell) adalah fungsi produksi dari bisnis. Tingkat modal awal diberikan, k_0 . Pekerjaan pengusaha sendiri dengan bisnis dimasukkan ke dalam modal. Fungsi produksi adalah neoklasik standar (skala pengembalian konstan, produk marginal positif, parsial kedua negatif, kondisi Inada). Kendala adalah hukum gerak modal, dan kondisi Transversalitas menggunakan pengganda nilai saat ini. $c$$\ln c$$\rho>0$$k$$\delta$$f(k,\ell)$$k_0$

Menyiapkan nilai Hamiltonian saat ini

$$\hat H = \ln c +\lambda[f(k,\ell) - w\ell - \delta k - c]$$

kami menghitung kondisi orde pertama

$$\frac {\partial \hat H}{\partial c} = 0 \Rightarrow \frac 1c =\lambda \Rightarrow \frac {\dot c}{c} = -\frac {\dot \lambda}{\lambda}$$

$$\frac {\partial \hat H}{\partial \ell} = 0 \Rightarrow \lambda [f_{\ell} -w]=0 \Rightarrow f_{\ell} =w$$

$$\frac {\partial \hat H}{\partial k} = \rho\lambda - \dot \lambda \Rightarrow \lambda [f_{k} -\delta]=\rho\lambda - \dot \lambda$$

dan menggabungkan mereka kita memperoleh hukum evolusi konsumsi pengusaha kita,

$$\dot c = \big(f_k-\delta -\rho \big)c \tag{1}$$

Dari aturan optimal untuk permintaan tenaga kerja (statis) dan pengembalian konstan ke implikasi skala ( ) kita memperoleh . Memasukkan ini ke dalam hukum gerak modal yang kita perolehf = f k k + f ℓ ℓ f - w ℓ = f k$\ell: f_{\ell} =w$$f = f_kk + f_{\ell}\ell$$f-w\ell = f_kk$

$$\dot k = f_kk - \delta k - c \tag {2}$$

Persamaan dan membentuk sistem persamaan diferensial. Nilai kondisi-mapan untuk konsumsi dan modal pengusaha adalah( 2 $(1)$$(2)$

$$c^* = f_k^*k^* - \delta k^*,\;\;\; k^*: f^*_k = \delta +\rho \tag{3}$$

$$\Rightarrow c^* = \rho k^* \tag{3a}$$

... yang merupakan ekspresi yang cukup akrab.

$k^*$ kadang-kadang disebut tingkat modal "aturan emas yang dimodifikasi". Jacobian dari sistem yang dievaluasi pada nilai kondisi tunak memiliki penentu negatif untuk setiap nilai parameter model , yang merupakan kondisi yang diperlukan dan memadai bagi sistem untuk menunjukkan stabilitas jalur pelana.

Maksimum dari lokus adalah pada titik, (kadang-kadang disebut tingkat modal "aturan emas") ˜ $\dot k =0$$\tilde k$

$$\tilde k : f_{kk}(\tilde k)\tilde k + f_k(\tilde k) - \delta = 0\Rightarrow f_k(\tilde k) = \delta - f_{kk}(\tilde k)\tilde k \tag{4}$$

Nilai penting sebagai patokan: ini adalah tingkat modal di mana dan berada pada maksimum (tidak optimal atau kondisi stabil ).˙ k =0$\tilde k$$\dot k =0$$c$

The lokus melintasi sumbu horisontal diagram fase (bahwa tindakan modal) di kondisi mapan tingkat modal .k$\dot c=0$$k^*$

Jika , yang memerlukan karena parsial kedua yang negatif, kita akan memiliki "akumulasi modal yang berlebihan" (terlalu banyak donat): pengusaha dapat menikmati lebih mantap- konsumsi negara dengan tingkat modal yang lebih rendah. Menggunakan dan kita miliki f ∗ k < f k ( ˜ k ) ( 3 ) ( 4 $k^* > \tilde k$$f_k^* < f_k(\tilde k)$$(3)$$(4)$

$$f_k^* < f_k(\tilde k) \Rightarrow \delta + \rho < \delta - f_{kk}(\tilde k)\tilde k$$

$$\Rightarrow \rho < - f_{kk}(\tilde k)\tilde k \tag {5}$$

Ketidaksetaraan adalah kondisi untuk tingkat modal tunak yang optimal. Dan masalahnya, kita tidak bisa mengesampingkannya . Ini hanya mensyaratkan bahwa pengusaha "cukup sabar", dengan tingkat preferensi waktu murni yang cukup kecil, tetapi masih positif.$(5)$

Di sinilah masalahnya: akumulasi modal yang berlebihan secara efektif dikecualikan dalam model agen perwakilan. Mungkin saja dalam model-model generasi yang tumpang tindih, tetapi sebagai konsekuensi yang tidak disengaja pada tingkat ekonomi makro, salah satu contoh paling awal bahwa ekonomi makro mungkin berdasar mikro dan masih berperilaku berbeda dari dunia mikro.

Tetapi model kami tidak termasuk dalam kategori mana pun: ini adalah model keseimbangan parsial dari agen tunggal dalam lingkungan yang secara heterogen tersirat - dan keseimbangan umum di sini tidak akan mengubah hasil: orang ini hanya mewakili dirinya sendiri. Jadi masalahnya adalah jika berlaku, maka solusi Kontrol Optimal jelas akan kurang optimal , karena di sini kita memiliki satu orang, satu orang, satu pikiran: dengan melihat solusi, pengusaha kita akan berkata, " hei, metode ini tidak ada gunanya, jika saya mengikuti sarannya saya akan berakhir dengan tingkat modal yang kurang optimal ". $(5)$

Dan saya tidak puas hanya mengatakan "baik, Kontrol Optimal tidak cocok untuk masalah ini, coba metode lain", karena saya tidak dapat melihat mengapa kita harus menganggapnya tidak cocok. Tetapi jika itu cocok, maka metode harus sinyal sesuatu yang salah, itu harus di beberapa titik mengharuskan bahwa tidak tidak tahan, agar dapat menawarkan solusi (jika begitu terjadi bahwa tidak tahan, semuanya terlihat membengkak).( 5 $(5)$$(5)$

Orang bisa bertanya-tanya, "mungkin kondisi Transversality dilanggar jika berlaku?" -tapi tidak terlihat seperti itu, karena , yang menuju ke konstanta positif, sedangkan pergi ke nol, hanya membutuhkan itu saja .λ ( t ) k ( t ) = k ( t ) / c ( t ) e - ρ t ρ > $(5)$$\lambda(t)k(t) = k(t)/c(t)$$e^{-\rho t}$$\rho>0$

Pertanyaan saya:

1) Bisakah seseorang menawarkan wawasan di sini?

2) Saya akan berterima kasih jika seseorang memecahkan ini menggunakan Pemrograman Dinamis dan melaporkan hasilnya.

ADDENDUM
Dari sudut pandang matematika, perbedaan penting dari model ini adalah bahwa hukum modal gerak yang dioptimalkan , eq. tidak mencakup seluruh output seperti dalam model standar, tetapi hanya pengembalian ke modal . Dan ini terjadi karena kami telah memisahkan hak properti atas output, yang dalam kerangka "masalah maksimalisasi bisnis individu", diharapkan.f ( k ) f k$(2)$$f(k)$$f_kk$

Saya percaya masalahnya adalah kondisi mapan mungkin tidak ada, dan sistem malah menunjukkan pertumbuhan yang stabil (tergantung pada parameter).

Alasannya adalah karena model ini setara dengan masalah penghematan konsumsi standar dengan suku bunga eksogen dan konstan. Untuk melihat itu, pertama pertimbangkan kondisi urutan pertama untuk pilihan tenaga kerja (di sini, adalah turunan parsial dari argumen wrt. th). Menggunakan definisi pengembalian konstan, produk marginal tenaga kerja adalah yang merupakan fungsi dari rasio modal-tenaga kerja saja. Jika upah konstan, FOC tenaga kerja menentukan secara unik optimalf i f i $f_2(k,\ell) = w$$f_i$$f$$i$

$$\frac{\partial }{\partial \ell} f(k,\ell) = \frac{\partial }{\partial \ell} \left[ f \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \ell \right] = f_1 \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \frac{-k}{\ell} + f \left( \frac{k}{\ell},1 \right)$$ $k/\ell$rasio sebagai fungsi dari upah dan parameter lainnya. Karena produk marjinal dari modal juga tergantung pada , itu akan konstan di sepanjang jalur optimal. Nyatakan nilai produk marginal ini , dan tunjukkan laba bersih dari penyusutan . Persamaan (1) - (2) untuk dinamika modal dan konsumsi kemudian dan solusi spesifik yang memenuhi kondisi transversalitas adalah$w$ $$\frac{\partial }{\partial k} f(k,\ell) = \frac{\partial }{\partial k} \left[ f \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \ell \right] = f_1 \left( \frac{k}{\ell},1 \right)$$ $k/\ell$$r^*$$r = r^* - \delta$ $$\begin{split} \dot c_t &= (r - \rho) c_t \\ \dot k_t &= r k_t - c_t \end{split}$$ $c_t = \rho k_t$dengan diberikan, yaitu bagian konstan dari kekayaan dikonsumsi setiap saat. Baik modal dan konsumsi tumbuh pada tingkat , jadi tidak ada kondisi mapan kecuali pengembalian modal (yang di sini tergantung pada tingkat upah eksogen ) sama dengan tingkat preferensi waktu.$k_0$$(r-\rho)$$w$

Saya memposting ini sebagai jawaban, karena ini berlanjut pada jawaban pengguna @ivansml ... yang merupakan pengidentifikasian tangkapan di sini, tangkapan yang secara naif saya abaikan (meskipun ini adalah kasus yang sempit, sementara par yang menarik muncul setelahnya. Namun demikian, itu seharusnya ditangani).

Memang, dengan tingkat upah eksogen, dan optimalisasi persaingan sempurna pada permintaan tenaga kerja, produk marjinal modal hanya ditentukan oleh parameter model dan oleh tingkat upah. Untuk kasus sederhana di mana kita mengasumsikan bahwa tingkat upah konstan, analisis @ivansml berlaku: model menjadi salah satu pertumbuhan endogen : produk marjinal modal konstan, yang diperlukan untuk pertumbuhan endogen, di mana tidak ada stabil nyatakan dalam level .

Yang menunjukkan c = ˙ c / c dan k = ˙ k / k , persamaan ( 1 ) dan ( 2 ) dari OP dapat ditulis$\hat c = \dot c/c$$\hat k = \dot k /k$$(1)$$(2)$

k =fk-δ-c/

$$\hat c = f_k-\delta -\rho \tag{1b}$$ $$\hat k = f_k - \delta - c/k \tag{2b}$$

Karena adalah konstan, tingkat pertumbuhan konsumsi adalah konstan - nol, positif, atau negatif, tergantung pada parameter dan upah. Di sisi lain membedakan ( 2 b $f_k$$(2b)$ sehubungan dengan waktu yang kita dapatkan

$$\dot {\hat k} = (\hat k - \hat c)\cdot (c/k)$$

dan jelas bahwa untuk pertumbuhan yang stabil-negara yang kita inginkan k = c , yang, dari ( 2 b ) diperoleh hanya jika c = ρ k . Mudah untuk memverifikasi itu, karena λ ( t ) = c ($\hat k = \hat c$$(2b)$$c = \rho k$$\lambda(t) = c(t)$

Dalam model pertumbuhan endogen yang tepat di mana kita memeriksa seluruh ekonomi, kita hanya mengasumsikan bahwa parameter model sedemikian rupa sehingga ada tingkat pertumbuhan positif, karena ini adalah apa yang kita amati di dunia nyata. Tetapi di sini, kita hanya memiliki satu individu. Jadi, apa yang mungkin kita katakan kepada pengusaha kita?

Jika , tingkat pertumbuhan positif, dan baik konsumsi maupun modalnya harus tumbuh "selamanya", mempertahankan rasio konstan. Jika f k - δ - ρ = 0 , laju pertumbuhan adalah nol, dan kedua variabel tetap konstan selamanya. Jika f k - δ - ρ < 0 , tingkat pertumbuhan negatif, dan kita harus masuk ke dalam spiral menurun konsumsi dan modal yang menurun (selalu menjaga hubungan c = ρ $f_k-\delta -\rho >0$
$f_k-\delta -\rho =0$
$f_k-\delta -\rho <0$$c= \rho k$ ).

Ini, memiliki beberapa intuisi, memvalidasi kesesuaian aplikasi Kontrol Optimal: mengingat parameter lain dan tingkat upah, semakin besar "ketidaksabaran" (semakin besar $\rho$ adalah) semakin mungkin bahwa individu akan mengalami penurunan tingkat konsumsi, karena masa depan, dan karenanya investasi, tidak banyak yang disukainya. Tentu saja, spiral ke bawah yang monoton mungkin tidak terdengar sangat realistis sebagai solusi - tetapi ini adalah model yang sangat bergaya, pada dasarnya memberikan kecenderungan umum dalam bahasa matematika yang sangat formal.

Bagian yang sangat menarik akan dimulai jika kita mempertimbangkan upah variabel . Ini dapat menciptakan segala macam dinamika yang menarik dan rumit bagi pebisnis kecil kita dan keputusan konsumsi-investasinya.

$w$$w$$k$$k$