Metode pengganda Lagrange dengan variabel acak

Saya akan menggambarkan masalah yang saya alami dengan masalah sederhana.

Biarkan , dan Z sebagai variabel acak bernilai nyata. Biarkan u : R → R menjadi fungsi yang dapat dibedakan, dan f ( c 1 , Z ) menjadi fungsi bernilai nyata yang dapat dibedakan sehubungan dengan c 1 .$c_1, c_2 \in \mathbb{R}$$Z$$u:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$f(c_1,Z)$$c_1$

Masalahnya adalah: Maksimalkan: sedemikian rupa sehingga c 2 = f ( c 1 , Z $u(c_1) + \mathbb{E}[u(c_2)]$$c_2=f(c_1, Z)$

Masalah ini mudah diselesaikan dengan substitusi langsung, dan jawabannya adalah

$u'(c_1) + \mathbb{E}\left[u'(f(c_1,Z)) \frac{\partial f(c_1,Z)}{\partial c_1}\right] = 0 \label{answer}$

Masalahnya adalah bagaimana menuliskan Lagrangian yang ekstremnya sesuai dengan solusi masalah ini dengan cara biasa.

Insting pertama saya adalah menulis .$\mathcal{L} = u(c_1) + \mathbb{E}[u(c_2)] + \lambda(c_2 - f(c_1,Z))$

Namun, ini sepertinya tidak masuk akal. Jika Anda memperlakukan seolah-olah itu adalah variabel acak, maka turunan dari E [ u ( c 2 ) ] sehubungan dengan c 2 memberikan nol, dan ini tidak mungkin memberikan jawaban yang benar. Di sisi lain, tidak masuk akal untuk memperlakukannya sebagai non-stokastik juga, karena 'dipaksa' untuk menjadi stokastik oleh kendala tersebut.$c_2$$\mathbb{E}[u(c_2)]$$c_2$

Pertanyaan: Bagaimana cara saya menulis Lagrangian yang benar-benar sesuai dengan solusi masalah optimasi di atas?

$c_2$$E[u(c_2)]$$c_2$

Mengapa? Pernyataan seperti itu tidak mengikuti dari mana pun. Kehalusannya terletak di tempat lain. Masalah dengan Lagrangian dipertimbangkan oleh OP

$$\mathcal{L} = u(c_1) + \mathbb{E}[u(c_2)] + \lambda(c_2 - f(c_1,Z))$$

$Z$$c_1$

Sekarang, apakah kita / dapatkah kita memaksimalkan variabel acak? Ya, tidak, karena karakteristik penting dari variabel acak adalah bahwa itu adalah fungsi yang nilainya tidak dapat ditetapkan oleh perintah dan kontrol.

Tetapi orang bisa mengatakan "ok, mari kita berpura-pura bahwa Lagrangian ini bukan variabel acak, dan cukup tuliskan syarat untuk maksimalisasi, meskipun kita tahu bahwa kita tidak bisa memaksakan solusi".

Tetapi ini tidak akan berhasil: jika seseorang mencoba untuk melakukannya pada akhirnya akan diperoleh

$$u'(c_1) + \mathbb{E}\left[u'(f(c_1,Z))\right] \cdot \frac{\partial f(c_1,Z)}{\partial c_1} = 0$$

yang tidak sama dengan kondisi yang diperoleh melalui substitusi langsung, karena di sini turunan parsial berada di luar nilai yang diharapkan.

(bagi mereka yang mungkin berpikir "hei, lalu bagaimana kita menerapkan prosedur maksimalisasi dalam pendekatan kemungkinan maksimum" jawabannya adalah bahwa, tidak ada yang acak lagi ketika kita menerapkan langkah-langkah maksimalisasi).

$$\frac{d \ E(c_2)}{d \ c_2} = 0$$ $X$$n$ $$E(n \cdot X) = n \cdot \frac{7}{2}.$$ $$\frac{d \ E(n \cdot X)}{d \ n} = 0$$

Jawab dulu:

$g(y)$$c_2$$c_1$

$$\mathcal{L}(c_1, g) = u(c_1) + \int u(x)g(x) \mathrm{d}x + \int \lambda(y) \left[ g(y) - \eta(c_1, y) \right] \mathrm{d}y.$$

$\eta(c_1, y)$$f(c_1, Z)$$\lambda(y)$$g(y)=\eta(c_1,y)$$\mathbb{R}$

$$u'(c_1) - \frac{\partial}{\partial c_1} \int \lambda(y) \eta(c_1,y) \mathrm{d} y =0, \\ u(y) + \lambda(y) =0, \\ g(y) - \eta(c_1, y) = 0. \\ $$

Menggabungkan dua yang pertama memberi

$$u'(c_1) + \frac{\partial}{\partial c_1} \int u(y) \eta(c_1,y) \mathrm{d} y =0.$$

Sekarang menggunakan 'hukum ahli statistik bawah sadar' memberi

$$u'(c_1) + \frac{\partial}{\partial c_1} \int u(f(c_1,z)) \phi(z) \mathrm{d} z =0 \\ \Rightarrow u'(c_1) + \int u'(f(c_1,z)) \frac{\partial f(c_1,z)}{\partial c_1} \phi(z) \mathrm{d} z =0 .$$ $\phi(z)$$Z$

---

Sekarang saya ingin membahas beberapa hal lain. Idealnya saya melakukan ini dalam komentar, tetapi saya tidak memiliki reputasi yang cukup untuk berkomentar.

Pertama-tama, saya OP. Saya benar-benar bingung mengapa saya tidak bisa masuk dengan kredensial asli. Masih berusaha mencari tahu itu.

Seperti yang ditunjukkan denesp, saya menulis jawaban belum lama ini yang langsung saya hapus. Saya melakukan ini karena beberapa alasan:

1. Saya sebenarnya tidak menjawab pertanyaan di pos itu.
2. Saya berada di bus pada saat itu, mengetik di ponsel saya. Format yang saya miliki tidak benar, dan kata-katanya sangat longgar. Saya ingin mengambil lebih banyak waktu untuk itu dan memberikan jawaban yang lebih baik dan lebih tepat. Jadi, misalnya, beberapa komentar denesp diarahkan pada kata-kata yang tidak tepat dalam posting yang saya hapus.

Untuk membahas komentar denesp pada posting asli: Saya berkomentar secara singkat bahwa semuanya tidak berhasil karena

1. Saya pikir itu sangat jelas mengapa hal-hal yang disarankan tidak berhasil.
2. Saya tidak berpikir posting yang menjelaskan mengapa mereka tidak bekerja dengan banyak matematika sesuai untuk komentar

'Jawaban' Alecos sama sekali bukan jawaban. Mungkin lebih baik dibaca sebagai perluasan mengapa pendekatan naif dalam posting asli tidak bekerja.

Sekarang izinkan saya membahas masalah diferensiasi. Memang benar bahwa saya tidak tepat dalam posting asli, tetapi ini untuk menggambarkan pendekatan naif yang saya ambil dan mengapa itu tidak berhasil.

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$f$$f'$

$\mathbb{R}$$f$$f'$