Optimalisasi Dinamis: Bagaimana jika kondisi urutan kedua tidak berlaku?

Pertimbangkan masalah optimisasi dinamis berikut

$$\begin{align} &\max_u \int^T_0{F(x,u)dt}\\ \text{s.t.}~& \dot{x} = f(x,u) \end{align}$$

FOC

Hamiltonian diberikan oleh

$$\begin{align} H(x,u,\lambda) = F(x,u) + \lambda f(x,u) \end{align}$$ Kondisi yang diperlukan untuk optimalitas diberikan oleh maksimum prinsip $$\begin{align} \frac{\partial H}{\partial u} &= 0\\[2mm] \frac{\partial H}{\partial x} &= -\dot{\lambda} \end{align}$$

Misalkan $u^*=\arg\max_u H(x,u,\lambda)$ adalah pemaksimal, yaitu $H_{uu} < 0$ .

SOC

Teorema Panah Cukup menyatakan, bahwa kondisi yang diperlukan cukup jika Hamiltonian dimaksimalkan

$$\begin{align} H^0(x,\lambda) = \max_u H(x,u,\lambda) \end{align}$$ cekung di $x$ , yaitu jika $H_{xx} < 0$ .

Masalah

Misalkan FOC bertahan, tetapi SOC gagal menahan.

• Apa yang bisa dikatakan tentang optimalitas solusi?

Tidak ada jawaban tunggal, itu akan tergantung pada rincian setiap masalah. Mari kita lihat contoh standar.

Pertimbangkan masalah pengoptimalan antarwaktu benchmark untuk model Ramsey

$$\begin{align} &\max_u \int^{\infty}_0{e^{-\rho t}u(c)dt}\\ \\ & \text{s.t.}\;\; \dot{k} = i-\delta k\\ & \text{s.t.}\;\; y = f(k)=c+i \end{align}$$

Nilai saat ini adalah Hamiltonian

$$\tilde H = u(c) +\lambda [f(k)-c-\delta k]$$

Memaksimalkan lebih dari saja yang kita miliki$c$

$$\frac {\partial \tilde H}{\partial c} = u'(c) - \lambda =0 \implies u'(c^*) = \lambda \implies c^* = (u')^{-1}(\lambda)$$

dan kondisi urutan ke-2 akan berlaku jika fungsi utilitas cekung,

$$\frac {\partial^2 H}{\partial c^2} = u''(c^*) < 0$$

Selain itu, dari kondisi orde pertama berkenaan dengan konsumsi, jika non-kenyang lokal berlaku. Anggaplah kita memang memiliki preferensi "biasa".$\lambda >0$

Hamiltonian atas konsumsi yang dimaksimalkan adalah

$$\tilde H^0 = u[(u')^{-1}(\lambda)]+\lambda [f(k)-(u')^{-1}(\lambda)-\delta k]$$

Derivatif parsial sehubungan dengan variabel keadaan, adalah$k$

$$\frac {\partial \tilde H^0}{\partial k} = \lambda[f'(k) - \delta], \;\;\;\; \frac {\partial^2 \tilde H^0}{\partial k^2} = \lambda f''(k)$$

Jadi di sini, kondisi kecukupan Arrow-Kurz bermuara pada apakah produk marjinal modal menurun, konstan, atau meningkat (yang akan tergantung pada tanda turunan kedua dari fungsi produksi). Dalam kasus standar dan kami memiliki kondisi yang cukup.$f''(k) < 0$

Dalam kasus penyimpangan yang paling terkenal, model Romer yang memprakarsai literatur Pertumbuhan Endogen, , dan produk marjinal modal adalah konstanta positif.f ″ ( k ) = $AK$$f''(k) =0$

Jadi apa yang bisa kita katakan dalam kasus ini?

Di sini, Seierstad, A., & Sydsaeter, K. (1977). Kondisi yang memadai dalam teori kontrol optimal. Tinjauan Ekonomi Internasional, 367-391. memberikan berbagai hasil yang dapat membantu kami.

Secara khusus, mereka membuktikan bahwa jika Hamiltonian bersama - sama cekung dalam dan , itu adalah kondisi yang cukup untuk maksimum. The Hessian of the Hamiltonian adalah$c$$k$

(kita dapat mengabaikan ketentuan diskon)

$${\rm He}_H = \left [ \begin{matrix} u''(c) & 0\\ 0 & \lambda f''(k)\\ \end{matrix} \right]$$

Dalam kasus standar dengan ini adalah matriks pasti negatif dan Hamiltonian secara bersama-sama cekung dalam dan . c $u''(c) <0, \; f''(k) <0$$c$$k$

Ketika , memeriksa bahwa matriksnya negatif-semidefinite langsung menggunakan definisi. Pertimbangkan vektor dan produkz = ( z 1 , z 2 ) T ∈ R$f''(k) =0$$\mathbf z = (z_1, z_2)^T \in \mathbb R^2$

$$\mathbf z^T{\rm He}_H\mathbf z = z_1^2u''(c) \leq 0$$

ketidaksetaraan yang lemah ini berlaku , dan karena itu Hessian bersama-sama cekung dalam dan . c $\forall \mathbf z \in \mathbb R^2$$c$$k$

Jadi dalam model pertumbuhan endogen, solusinya memang maksimal (tunduk pada batasan parameter yang diperlukan untuk masalah yang akan didefinisikan dengan baik tentu saja).$AK$