Optimalisasi terkendala: menggabungkan dua kendala menjadi satu

Pertimbangkan masalah berikut

$$\begin{align} &\max_u F(x,u)\\ \text{s.t. }& u \in [0,\bar u]. \end{align}$$

Adakah ide untuk menggabungkan dua batasan $u \geq 0$ dan $\bar u - u \geq 0$ menjadi satu kendala $f(u,\bar u) \geq 0$ ?

$$0\leq u \leq \bar u \implies -\frac {\bar u}{2} \leq u - \frac {\bar u}{2} \leq \frac {\bar u}{2}$$

$$\implies \left | u - \frac {\bar u}{2}\right| \leq \frac {\bar u}{2}$$

$$\implies \frac {\bar u}{2} - \left | u - \frac {\bar u}{2}\right| \geq 0$$

TAMBAHKAN Dalam komentar disarankan agar kita dapat menggunakan ekspresi kuadrat untuk mencapai diferensiasi di mana-mana,

$$\frac {\bar{u}^2}{4} - \left ( u - \frac {\bar u}{2}\right)^2 \geq 0$$

Mari kita lihat: kita kemudian diizinkan untuk menguraikan kotak dan menulis

$$\frac {\bar{u}^2}{4} - u^2 + u\bar u - \frac {\bar{u}^2}{4} \geq 0$$

$$\implies -u^2 + \bar u u \geq 0 \implies u(\bar u -u) \geq 0$$

yang tidak lebih dari perkalian dua kendala yang terpisah.

ADDENDUM II
Jika kita memiliki untuk sembarang real, maka ungkapan umum adalah$u \in [a,b]$$a<b$

$$-u^2+(a+b)u-ab\geq 0$$