Kondisi Cekungan Ketat Diagonal Rosen

Pertimbangkan permainan dengan pemain, dengan ruang strategi , di mana adalah set dibatasi, dan pemain fungsi hasil . Kondisi Rosen ( JB Rosen. Keberadaan dan keunikan poin keseimbangan untuk gim cekung n-orang. Econometrica, 33 (3): 520–534, 1965 ) untuk keunikan Nash Equilibrium dalam permainan pemain menyatakan bahwa equlibrium akan menjadi unik ketika $n$ $S \subset \mathbb{R}$ $S$ $i$ $\pi_i:S^n \rightarrow \mathbb{R}$

fungsi hasil cekung dalam strategi sendiri $\pi_i(\textbf{s}) \; i \in N$
Ada vektor ( sedemikian rupa sehingga berfungsi secara cekung diagonal $\textbf{z}$ $(\forall i \in N)(z_i \geq 0)\ \wedge (\exists i \in N) (z_i >0)$ $\sigma(\mathbf{s}, \mathbf{z})=\sum_{i=1}^{n}z_i\pi_i({\textbf{s}})$

$N$ menunjukkan set pemain.

Untuk mendefinisikan konsep concavity ketat diagonal, tinju memperkenalkan 'pseudogradient' fungsi , didefinisikan dengan: Kemudian, function dikatakan dominan secara diagonal di untuk fixed jika untuk setiap yang berlaku sebagai berikut: $\sigma$

\begin{aligned} g (s, z) = (\begin{matrix} z_{1} \frac{\partial π_{1} (s)}{\partial s_{1}} \\ z_{2} \frac{\partial π_{2} (s)}{\partial s_{2}} \\ . . . \\ z_{n} \frac{\partial π_{n} (s)}{\partial s_{n}} \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{align} g(\mathbf{s},\mathbf{z}) = \begin{pmatrix} z_1\frac{\partial \pi_1(\mathbf{s})}{\partial s_1} \\ z_2\frac{\partial \pi_2(\mathbf{s})}{\partial s_2} \\ ... \\ z_n\frac{\partial \pi_n(\mathbf{s})}{\partial s_n}% \end{pmatrix} \end{align}$

σ

$\sigma$

s \in S

$\mathbf{s} \in S$

z \geq 0

$\mathbf{z} \geq 0$

s^{0}, s^{1} \in S

$\mathbf{s}^0, \mathbf{s}^1 \in S$

\begin{aligned} (s^{1} - s^{0})^{'} g (s^{0}, z) + (s^{0} - s^{1})^{'} g (s^{1}, z) > 0 \end{aligned}

$\begin{align} (\mathbf{s}^1 - \mathbf{s}^0)'g(\mathbf{s}^{0}, \mathbf{z}) + (\mathbf{s}^0 - \mathbf{s}^1)'g(\mathbf{s}^{1}, \mathbf{z})>0 \end{align}$

Ditunjukkan, dalam makalah yang saya kutip di awal, bahwa kondisi yang cukup untuk menjadi cekung striclty diagonal adalah matriks adalah defite negatif untuk , di mana adalah Jacobian dari pseudogradient sehubungan dengan . Saya menggunakan 'untuk menunjukkan transpose dari sebuah matriks. Apa intuisi di balik kondisi cekung ketat diagonal? $\sigma$ $\left[G(\mathbf{x}, \mathbf{z}) +G(\mathbf{x}, \mathbf{z})' \right]$ $\mathbf{s} \in S$ $G(\mathbf{x}, \mathbf{z})$ $g$ $\mathbf{s}$

game-theory nash-equilibrium Nidjsi
sumber

Kondisi Cekungan Ketat Diagonal Rosen

Jawaban: