Mengingat jurang baru-baru ini pada kedalaman-3 hasil (yang antara lain menghasilkan kedalaman-3 rangkaian aritmatika untuk penentu atas ), Saya memiliki pertanyaan-pertanyaan berikut: Grigoriev dan Karpinski membuktikan batas bawah untuk rangkaian aritmetika kedalaman-3 yang menghitung matriks atas matriks bidang terbatas (yang saya kira, juga berlaku untuk Permanen). Formula Ryser untuk menghitung Permanen memberikan rangkaian aritmatika kedalaman-3 dengan ukuranC n × n. Ini menunjukkan bahwa hasilnya pada dasarnya ketat untuk sirkuit kedalaman-3 untuk bidang Permanen dan terbatas. Saya punya dua pertanyaan:
1) Apakah ada rumus kedalaman-3 untuk penentu analog dengan rumus Ryser untuk Permanen?
2) Apakah batas bawah pada ukuran sirkuit aritmatika yang menghitung polinomial determinan \ textit {selalu} menghasilkan batas bawah untuk polinom Permanen? (Lebih dari mereka adalah polinomial yang sama).
Meskipun pertanyaan saya saat ini adalah mengenai polinomial ini di atas bidang yang terbatas, saya juga ingin mengetahui status dari pertanyaan ini di atas bidang yang arbitrer.
Jawaban:
Permanen selesai untuk VNP di bawah proyeksi-p atas bidang apa pun yang bukan karakteristik 2. Ini memberikan jawaban positif untuk pertanyaan kedua Anda. Jika pengurangan ini linier, itu akan memberikan jawaban positif untuk pertanyaan pertama Anda, tapi saya yakin itu tetap terbuka.
Secara lebih rinci: ada beberapa polinomial sedemikian rupa sehingga adalah proyeksi , yaitu ada substitusi tertentu yang mengirimkan setiap variabel baik ke variabel atau konstanta sehingga setelah substitusi ini permanen menghitung komputasi penentu.d e t n ( X ) p e r m q ( n ) ( Y ) y i j x k ℓ q ( n ) × q ( n ) n × nq(n) detn(X) permq(n)(Y) yij xkℓ q(n)×q(n) n×n
1) Dengan demikian rumus Ryser menghasilkan formula kedalaman 3 (kedalaman tidak meningkat di bawah proyeksi karena penggantian dapat dilakukan pada gerbang input) ukuran untuk determinan. UPDATE : Seperti yang ditunjukkan @Ramprasad dalam komentar, ini hanya memberikan sesuatu yang non-invasif jika , karena ada kedalaman 2 rumus ukuran sepele untuk det. Saya bersama Ramprasad dalam hal yang terbaik yang saya tahu adalah pengurangan melalui ABP, yang menghasilkan .2O(q(n)) n ⋅ n ! = 2 O ( n log n ) q ( n ) = O ( n 3 )q(n)=o(nlogn) n⋅n!=2O(nlogn) q(n)=O(n3)
2) Jika permanen dapat dihitung - lagi, pada beberapa bidang karakteristik bukan 2 - oleh sirkuit ukuran , maka determinan dapat dihitung oleh sirkuit ukuran . Jadi batas bawah pada ukuran sirkuit untuk menghasilkan batas bawah pada ukuran sirkuit untuk permanen (itu terbalik , bukan ). disebutkan di atas menghasilkan a perm batas bawah dari a det batas bawah.s ( m ) n × n s ( q ( n ) ) b ( n ) d e t n b ( q - 1 ( n )m×m s(m) n×n s(q(n)) b(n) detn q 1 / q ( n ) q ( n ) = O ( n 3 ) b ( n 1 / 3 ) b ( nb(q−1(n)) q 1/q(n) q(n)=O(n3) b(n1/3) b(n)
sumber
Sangat mungkin bahwa determinan lebih sulit daripada permanen. Keduanya polinomial, Peringkat Waring (jumlah n kekuatan bentuk linear) dari permanen adalah sekitar 4 ^ n, Chow Rank (jumlah produk bentuk linear) kira-kira 2 ^ n. Jelas, Waring Rank \ leq 2 ^ {n-1} Chow Rank. Untuk penentu, angka-angka itu hanya batas bawah. Di sisi lain, saya membuktikan beberapa waktu yang lalu bahwa peringkat War dari penentu dibatasi oleh (n +1)! dan ini mungkin mendekati kebenaran.
sumber