Sebuah karakterisasi tetap mendalam dari

Ini adalah pertanyaan tentang kompleksitas rangkaian. (Definisi ada di bawah.)

Yao dan Beigel-Tarui menunjukkan bahwa setiap rangkaian keluarga dari ukuran s memiliki keluarga rangkaian yang setara dengan ukuran s p o l y ( log s ) dari kedalaman dua , di mana gerbang keluaran adalah fungsi simetris dan tingkat kedua terdiri dari dari A N D gerbang p o l y ( log s $ACC^0$$s$$s^{poly(\log s)}$$AND$$poly(\log s)$kipas angin. Ini adalah "keruntuhan kedalaman" yang cukup luar biasa dari rangkaian keluarga: dari rangkaian kedalaman 100 Anda dapat mengurangi kedalaman menjadi 2, dengan hanya semburan semu-polinomial (dan satu gerbang mewah tapi masih dibatasi di bagian atas).

Pertanyaan saya: apakah ada cara yang diketahui untuk mengekspresikan keluarga sirkuit , sama? Lebih ambisius, bagaimana dengan keluarga sirkuit N C 1 ? Jawaban potensial memiliki bentuk: "Setiap sirkuit T C 0 ukuran s dapat dikenali oleh kedalaman-dua keluarga ukuran f ( s ) , di mana gerbang keluaran adalah fungsi dari tipe X dan gerbang level kedua memiliki tipe Y " .$TC^0$$NC^1$$TC^0$$s$$f(s)$$X$$Y$

Tidak harus menjadi mendalam-dua, apapun hasil tetap mendalam akan menarik. Membuktikan bahwa setiap sirkuit dapat diwakili di kedalaman 3 oleh sirkuit yang hanya terdiri dari gerbang fungsi simetris akan sangat menarik.$TC^0$

Beberapa pengamatan kecil:

1. Jika jawabannya sepele untuk setiap fungsi Boolean (kita dapat mengekspresikan fungsi apa pun sebagai O R dari 2 n A N D s). Untuk konkret, mari kita minta f ( n ) = 2 n o ( 1 ) .$f(n)=2^n$$OR$$2^n$ $AND$$f(n) = 2^{n^{o(1)}}$

2. Jawabannya juga sepele jika salah satu atau Y diizinkan untuk menjadi fungsi sewenang-wenang yang dapat dihitung dalam T C 0 ... :) Saya jelas tertarik pada fungsi "sederhana", apa pun artinya ini. Agak licin untuk mendefinisikan karena ada keluarga fungsi simetris yang tidak dapat dihitung. (Ada bahasa unary yang tidak dapat dihitung.) Jika Anda suka, Anda dapat dengan mudah mengganti X dan Y dengan fungsi simetris dalam pernyataan tersebut, namun saya akan tertarik dengan pilihan gerbang yang rapi.$X$$Y$$TC^0$$X$$Y$

(Sekarang untuk beberapa ingatan singkat notasi:

adalah kelas yang dikenali oleh keluarga fan-in konstan-kedalaman sirkuit dengan A N D , O R , dangerbang M O D m untuk m konstan > 1 independen dari ukuran sirkuit. Sebuah M O D m gerbang mengembalikan 1 jika dan hanya jika jumlah input yang habis dibagi m .$ACC^0$$AND$$OR$$MOD_m$$m > 1$$MOD_m$$1$$m$

adalah kelas yang dikenali oleh sirkuit dengan kedalaman konstan dengangerbang M A J O R I T Y dari fan-in tanpabatas.$TC^0$$MAJORITY$

adalah kelas yang dikenali oleh sirkuit kedalaman logaritmik dengangerbang A N D , O R , N O T dari fan-in yang dibatasi.$NC^1$$AND$$OR$$NOT$

Diketahui bahwa ketika ukuran rangkaian dibatasi polinomial dalam jumlah input.)$ACC^0 \subseteq TC^0 \subseteq NC^1$

Inilah sedikit perluasan dari komentar saya untuk jawaban Boas. Agrawal, Allender dan Datta dalam makalah mereka Pada , A C 0 , dan Sirkuit Aritmatika$TC^0$$AC^0$ memberikan karakterisasi dalam hal sirkuit aritmatika. Yaitu, mereka menunjukkan bahwa bahasa A ada di T C 0 jika dan hanya ada fungsi f di ♯ A C 0 dan bilangan bulat k sedemikian rupa sehingga$TC^0$$A$$TC^0$$f$$\sharp AC^0$$k$

jika dan hanya jika f ( x ) = 2 | x | k .$x \in A$$f(x) = 2^{|x|^k}$

Perhatikan bahwa adalah bentuk khusus dari rangkaian aritmatika kedalaman konstan di atas Z (hanya konstanta 0 dan 1 yang diizinkan, dan input variabel dapat x i atau 1 - x i ).$\sharp AC^0$$Z$$x_i$$1-x_i$

Mengingat bahwa, seperti yang ditunjukkan Boaz dalam jawabannya, ada pengurangan kedalaman non-sepele untuk sirkuit aritmatika, ini mungkin sesuatu yang perlu diperhatikan.

Barrington Teorema harus mendapatkan Anda poli-size mendalam-3 sirkuit untuk dengan gerbang atas yang tidak terlalu aneh (mengalikan 5 siklus).$NC^1$

Saya tidak tahu jawabannya, dan saya kira ini pertanyaan terbuka. Ada sangat sedikit contoh yang dikenal dari "simulasi mengejutkan" seperti yang mirip dengan Yao / Beigel-Tarui dan Barrington. Satu hal di sepanjang garis ini yang muncul dalam pikiran adalah hasil Valiant bahwa untuk setiap yang dapat dihitung oleh O ( log n ) -depth O ( n ) -ukuran sirkuit, ada g di N C 0 [ n ϵ ] yang setuju dengan f pada $f:{0,1}^n\rightarrow{0,1}^n$$O(\log n)$$O(n)$$g$$NC_0[n^{\epsilon}]$$f$ . (Dan jika sirkuit untukfhanya menggunakan operasi linear daripada sirkuit untukg, yang mengarah ke koneksi kekakuan batas / matriks yang lebih rendah). Tetapi tidak sepertiN C 1 ini tentang fungsi multi-output, dan juga hanya untuk sirkuit berukuran linier. Perhatikan juga bahwareduksi non-sepele ke kedalaman 4dikenal untuk sirkuit aritmatika.$2^{n-o(n)}$$f$$g$$NC^1$