Sirkulasi batas bawah melewati set gerbang yang sewenang-wenang

Pada 1980-an, Razborov terkenal menunjukkan bahwa ada fungsi Boolean monoton eksplisit (seperti fungsi CLIQUE) yang membutuhkan banyak gerbang AND dan OR secara eksponensial untuk menghitung. Namun, basis {AND, OR} di atas domain Boolean {0,1} hanyalah salah satu contoh dari set gerbang menarik yang gagal menjadi universal. Ini mengarah ke pertanyaan saya:

Apakah ada set gerbang lain, yang sangat berbeda dari gerbang monoton, yang batas bawahnya diketahui secara eksponensial pada ukuran sirkuit (tanpa kedalaman atau batasan lain pada sirkuit)? Jika tidak, apakah ada rangkaian gerbang lain yang merupakan kandidat masuk akal untuk batas bawah seperti itu --- batas yang tidak perlu mengharuskan menerobos penghalang Bukti Alami, karena hasil sirkuit monoton-sirkuit Razborov tidak?

Jika set gerbang seperti itu ada, maka dipastikan akan lebih dari alfabet k-ary untuk k≥3. Alasannya adalah bahwa, lebih dari alfabet biner, the

(1) gerbang monoton ({AND, OR}),

(2) gerbang linier ({TIDAK, XOR}), dan

(3) gerbang universal ({DAN, ATAU, TIDAK})

pada dasarnya menguras kemungkinan yang menarik, sebagai berikut dari teorema klasifikasi Post. (Perhatikan bahwa saya berasumsi bahwa konstanta --- 0 dan 1 dalam kasus biner --- selalu tersedia secara gratis.) Dengan gerbang linear, setiap fungsi Boolean f: {0,1} ⁿ → {0,1} itu computable sama sekali dapat dihitung oleh sirkuit ukuran linier; dengan seperangkat universal, tentu saja kita menghadapi Bukti Alam dan hambatan menakutkan lainnya.

Di sisi lain, jika kita mempertimbangkan set gerbang lebih dari alfabet 3 atau 4 simbol (misalnya), maka serangkaian kemungkinan yang lebih luas terbuka --- dan setidaknya setahu saya, kemungkinan itu belum pernah sepenuhnya dipetakan. dari sudut pandang teori kompleksitas (perbaiki saya jika saya salah). Saya tahu bahwa set gerbang yang mungkin dipelajari secara luas dengan nama "klon" dalam aljabar universal; Saya berharap saya lebih fasih dengan literatur itu sehingga saya tahu bagaimana jika ada hasil dari area itu yang berarti kompleksitas sirkuit.

Dalam kasus apa pun, tampaknya tidak keluar dari pertanyaan bahwa ada rangkaian dramatis lain batas bawah yang matang untuk pembuktian, jika kita cukup memperluas kelas set gerbang melalui huruf hingga yang ingin kita pertimbangkan. Jika saya salah, tolong beri tahu saya alasannya!

(Dipindahkan dari komentar seperti yang disarankan Suresh. Perhatikan beberapa kesalahan dalam komentar yang diperbaiki di sini.)

Terima kasih kepada Scott untuk pertanyaan yang bagus.

Scott tampaknya menyarankan bahwa alasan kesulitan batas bawah mungkin bahasa operasi terbatas dalam kasus Boolean. Argumen penghitungan Shannon yang menunjukkan sebagian besar sirkuit harus besar bergantung pada kesenjangan antara daya ekspresif yang dapat dihitung dan banyak sirkuit. Kesenjangan ini tampaknya hilang ketika alfabet memiliki setidaknya 3 simbol.

Untuk ukuran alfabet 2 (kasing Boolean), kisi-kisi klon terhitung tak terbatas, dan disebut kisi-kisi Post .

Kisi Post juga menjelaskan mengapa hanya ada beberapa basis operasi yang menarik untuk kasus Boolean.

Untuk ukuran alfabet 3 atau lebih besar kisi klon tidak terhitung. Lebih jauh, kisi tidak memenuhi identitas kisi nontrivial, jadi sepertinya tidak mungkin untuk memberikan deskripsi lengkap tentang kisi. Untuk ukuran alfabet 4 atau lebih besar, kisi-kisi klon sebenarnya berisi setiap kisi hingga sebagai subkisi. Jadi ada banyak kemungkinan dasar operasi yang menarik untuk dipertimbangkan ketika alfabet memiliki 3 atau lebih simbol.

• Bulatov, Andrei A., Kondisi dipenuhi oleh kisi-kisi klon , Aljabar Universalis 46 237–241, 2001. doi: 10.1007 / PL00000340

Scott bertanya lebih lanjut: apakah kisi klon tetap tidak dapat dihitung jika kita asumsikan konstanta tersedia secara gratis?

Jawabannya adalah ya, lihat misalnya

• Gradimir Vojvodić, Jovanka Pantović, dan Ratko Tošić, Jumlah klon yang mengandung fungsi unary , NSJOM 27 83-87 , 1997. ( PDF )
• J. Pantović, R. Tošić, dan G. Vojvodić, Kardinalitas aljabar lengkap fungsional pada set elemen tiga , Aljabar Universalis 38 136-140, 1997. doi: 10.1007 / s000120050042

meskipun ternyata ini diterbitkan sebelumnya:

• Ostongoston, I., Demetrovics, J., dan Hannák, L. Pada jumlah klon yang mengandung semua konstanta , Coll. Matematika Soc. János Bolyai 43 21–25, 1983.

Pernyataan spesifik yang bagus berasal dari:

• A. Bulatov, A. Krokhin, K. Safin, dan E. Sukhanov, Tentang struktur kisi-kisi klon , Dalam: "Aljabar Umum dan Matematika Diskrit", editor: K. Denecke dan O. Lueders, 27–34. Heldermann Verlag, Berlin, 1995. ( PS )

$k \ge 3$$\mathcal{L}_k$$2^{\aleph_0}$

Untuk menyelesaikannya, saya tidak mengetahui adanya pekerjaan menggunakan klon non-Boolean untuk batas bawah sirkuit. Ini sepertinya layak diselidiki secara lebih mendalam. Mengingat relatif sedikit yang diketahui tentang kisi klon, mungkin ada basis operasi yang menarik yang menunggu untuk ditemukan.

Lebih banyak hubungan antara teori kloning dan ilmu komputer mungkin juga akan sangat menarik bagi matematikawan yang bekerja dalam aljabar universal. Contoh sebelumnya dari jenis interaksi ini muncul ketika Peter Jeavons menunjukkan bahwa aljabar dapat dikaitkan dengan bahasa kendala, dengan cara yang memungkinkan hasil penelusuran diterjemahkan ke dalam properti aljabar. Andrei Bulatov menggunakan ini untuk membuktikan dikotomi untuk CSP dengan ukuran domain 3. Sebaliknya, ada kebangkitan minat dalam teori congruence jinak sebagai hasil dari aplikasi ilmu komputer. Saya ingin tahu apa yang akan terjadi setelah hubungan antara teori kloning dan kompleksitas sirkuit non-Boolean.

Ini dipindahkan dari komentar, seperti yang disarankan Suresh.

$f:{0,1}^n \rightarrow {0,1}^n$$\Omega(\frac{n^2}{\log(n)})$

$\frac{n^2}{\log(n) * c}$$c$

$\Omega(n log n)$$\Omega(n^{3/2})$

Sunting 2. Hambatan utama adalah bahwa kita tidak memiliki metode untuk membuktikan batas bawah non-linier bahkan untuk gerbang linier, sejauh yang saya tahu (untuk batas bawah linier seseorang dapat menggunakan eliminasi gerbang, yang sangat mungkin untuk memberikan batas-linear). Meskipun sepertinya beberapa metode dari aljabar linier benar-benar harus membantu. Jadi datang dengan kandidat itu bagus, tetapi beberapa metode baru tetap diperlukan.

1. $\{0,1\}$$a$$Z_3^n=\{0,1,2\}^n$$\min(x,y)$$xy\mod{2}$$f(a)=0$$a$$0$$2$$a$setidaknya adalah angka . Dia menunjukkan bahwa setiap sirkuit (lebih dari MIN / XOR) yang membutuhkan sekitar gerbang untuk menghitung . Tapi itu tadi! Saya tidak mengetahui adanya hasil lebih lanjut dalam bantuan yang sama (pergi ke domain yang lebih besar, tetapi masih terbatas) kecuali, tentu saja, hal-hal dari rangkaian aritmatika. Tetapi hanya untuk sirkuit - untuk program percabangan pergi ke domain yang lebih besar membuat tugas batas bawah agak lebih mudah. $1$$2^n/\sqrt{n}$$f$

2. Di sirkuit dengan gerbang XOR. Di sini bahkan kasus kedalaman terbuka lebar. Batas bawah tertinggi untuk transformasi linear eksplisit over memiliki bentuk . Untuk membuktikan batas seperti untuk konstanta , bahkan di kedalaman dan bahkan jika hanya gerbang XOR diizinkan, adalah sebuah tantangan.$2$$y=Ax$$GF(2)$$n\log^{3/2}n$$n^{1+c}$$c>0$$2$