Kompleksitas Parametrized dari Menghitung Bicliques

Dalam pertanyaan sebelumnya. Algoritma Parametrized untuk Menemukan Bicliques , saya bertanya apakah ada algoritma parametrized cepat untuk menemukan biclique dalam grafik n vertex dan mengetahui bahwa itu terbuka jika FPT wrt k . Adalah benar sama untuk menghitung para k × k -bicliques, atau itu diketahui bahwa ini adalah # W \ [ 1 \] -Hard wrt k (atau beberapa gagasan lain dari kekerasan)?$k\times k$$n$$k$$k\times k$$W\[1\]$$k$

Saya tahu bahwa penghitungan Terimbas -bicliques adalah # W \ [ 1 \] -Hard, memperluas pengurangan sederhana untuk menemukan sebuah biclique diinduksi di bagian 4.5 di tesis Serge Gaspers' .$k\times k$$W\[1\]$

Ini harus #W [1] -dengan argumen interpolasi standar. Ini sketsa kasar.

Pertama, pertimbangkan versi multi-warna dari masalah biclique: diberikan grafik yang kumpulan verteksnya dipartisi ke dalam kelas , temukan biclique yang mengandung tepat satu simpul dari setiap set. Tidak seperti Biclique, yang status FPTnya terbuka, versi beraneka warna ini dikenal sebagai W [1] -hard: ada pengurangan yang mudah dari klik. Saya percaya itu juga harus #W [1] -hard.$X_1,\dots, X_{2k}$

Diberikan grafik dan partisi seperti di atas, mari kita dapatkan grafik baru G ′ dengan mengganti setiap simpul X i dengan seperangkat ukuran x i yang independen (dan mengganti setiap tepi antara X i dan X j dengan x i × x j biclique). Sekarang jumlah k × k bikli di G ′ adalah fungsi dari variabel 2 k x 1 , … , x 2 $G$$G'$$X_i$$x_i$$X_i$$X_j$$x_i\times x_j$$k\times k$$G'$$2k$$x_1,\dots,x_{2k}$. Bahkan, orang dapat melihat bahwa fungsi ini adalah polinomial derajat paling dan koefisien istilah x 1 ⋅ ⋯ ⋅ x 2 k yaitu persis jumlah bicliques warna-warni di G . Jadi dengan mensubstitusi banyak kombinasi nilai ke dalam variabel x i dan menghitung jumlah bikli dalam G ′ , kita dapat mengevaluasi polinomial ini di cukup banyak tempat untuk mendapatkan kembali koefisiennya dengan interpolasi.$2k$$x_1\cdot\dots\cdot x_{2k}$$G$$x_i$$G'$