Pertanyaan ini berkaitan dengan makalah Diferensial Geometri Keluarga Kurva Eksponensial-Lengkung dan Kehilangan Informasi oleh Amari.
Teksnya sebagai berikut.
Biarkan menjadi manifold dimensi dari distribusi probabilitas dengan sistem koordinat , di mana diasumsikan ...n θ = ( θ 1 , … , θ n ) p θ ( x ) > 0
Kami dapat menganggap setiap titik dari membawa fungsi dari ...S n log p θ ( x ) x
Biarkan menjadi ruang singgung di , yang, secara kasar, diidentifikasi dengan versi linear dari lingkungan kecil di . Biarkan menjadi dasar alami dari terkait dengan sistem terkoordinasi ... S n θ θ S n e i ( θ ) , i = 1 , … , n T θ
Karena setiap titik dari membawa fungsi dari , adalah wajar untuk menganggap di sebagai mewakili fungsiS n log p θ ( x ) x e i ( θ ) θ e i ( θ ) = ∂
Saya tidak mengerti pernyataan terakhir. Ini muncul di bagian 2 dari makalah yang disebutkan di atas. Bagaimana dasar ruang tangen diberikan oleh persamaan di atas? Akan sangat membantu jika seseorang di komunitas ini yang akrab dengan materi semacam ini dapat membantu saya memahami hal ini. Terima kasih.
Pembaruan 1:
Walaupun saya setuju bahwa (dari @aginensky) jika bebas linear maka juga linier independen, bagaimana ini adalah anggota ruang singgung di tempat pertama tidak terlalu jelas. Jadi bagaimana dapat dianggap sebagai dasar untuk ruang tangen. Bantuan apa pun dihargai.∂∂
Pembaruan 2:
@aginensky: Dalam bukunya Amari mengatakan yang berikut:
Mari kita perhatikan kasus di mana , himpunan semua probabilitas probabilitas positif (ketat) pada , di mana kami menganggap sebagai bagian dari . Sebenarnya, adalah subset terbuka dari ruang affine .
Maka ruang tangen dari di setiap titik secara alami dapat diidentifikasi dengan subruang linear . Untuk dasar alami dari sistem coordiante , kami memiliki .
Selanjutnya, mari kita ambil embedding , dan identifikasikan dengan subset dari . Vektor singgung kemudian diwakili oleh hasil operasi ke , yang kami tunjukkan dengan . Secara khusus kami memiliki . Jelas bahwa dan
Pertanyaan saya: Jika keduanya dan adalah dasar untuk ruang singgung maka apakah ini tidak akan bertentangan dengan fakta bahwa dan berbeda dan ?
Saya kira tampaknya ada hubungan antara ( ) dan . Jika Anda dapat mengklarifikasi ini, itu akan sangat membantu. Anda bisa memberikannya sebagai jawaban.
Jawaban:
Komentar saya sangat panjang, saya menempatkannya sebagai jawaban.
Saya pikir pertanyaannya lebih filosofis daripada matematika pada saat ini. Yaitu, apa yang Anda maksud dengan spasi, dan dalam hal ini, bermacam-macam? Definisi tipikal dari bermacam-macam tidak melibatkan penyisipan ke dalam ruang afin. Ini adalah pendekatan 'modern' (150 tahun?). Sebagai contoh, bagi Gauss, manifold adalah manifold dengan embedding spesifik ke dalam ruang affine tertentu ( ). Jika seseorang memiliki manifold dengan penyisipan dalam , maka ruang tangen (pada titik mana pun dari manifold) adalah isomorfik ke subruang spesifik dari ruang tangen menjadi pada titik itu. Perhatikan bahwa ruang singgung ke pada titik mana pun diidentifikasi dengan 'sama' .Rn Rn Rn Rn Rn
Saya pikir intinya adalah bahwa dalam artikel Amari, ruang yang dia sebut sebagai dilengkapi dengan beberapa 'alami' penanaman dalam ruang affine dengan koordinat mana dapat dipertimbangkan sebagai koordinat pada ruang singgung dari . Saya mungkin menambahkan bahwa itu hanya jelas jika fungsi 'umum' dalam beberapa hal - untuk degenerasi , ini akan gagal. Misalnya jika fungsi tidak melibatkan semua variabel . Poin utamanya adalah bahwa penyisipan manifold ini dalam , memunculkan identifikasi spesifik ruang bersinggungan denganθ i p θ S n p p θ iSn θi pθ Sn p p θi Rn pθ . Poin berikutnya adalah karena properti , ia dapat memetakan manifoldnya menggunakan fungsi log ke ruang affine lain di mana ruang tangen memiliki identifikasi yang berbeda dalam hal koordinat baru (log dan turunannya). Dia kemudian mengatakan bahwa karena sifat-sifat situasinya, dua manifold adalah isomorfik dan peta menginduksi isomorfisme pada ruang bersinggungan. Itu mengarah pada identifikasi (yaitu, isomorfisme) dari dua ruang singgung. p
Gagasan kuncinya adalah bahwa dua ruang singgung bukan set yang sama, tetapi isomorfis (yang pada dasarnya adalah bahasa Yunani untuk 'sama') setelah identifikasi yang benar. Sebagai contoh, apakah grup dari semua permutasi dari grup 'sama' dengan grup dari semua permutasi dari ? Sebagai eksperimen pemikiran sederhana, pertimbangkan , pemetaan real positif ke , semua real di bawah log peta. Pilih bilangan real favorit Anda dan pertimbangkan apa peta itu pada ruang singgung. Apakah saya akhirnya memahami pertanyaan Anda? Peringatan ada dalam urutan, yaitu bahwa geometri diferensial bukanlah bidang keahlian utama saya. Saya pikir saya sudah benar, tetapi jangan ragu untuk mengkritik atau masih mempertanyakan jawaban ini.{ a , b , c } R + R > 0{1,2,3} {a,b,c} R+ R >0
sumber