Masalah menghitung distribusi gabungan dan marginal dari dua distribusi seragam

Misalkan kita memiliki variabel acak $X_1$ didistribusikan sebagai $U[0,1]$ dan $X_2$ didistribusikan sebagai $U[0,X_1]$ dimana $U[a,b]$ berarti distribusi seragam dalam interval $[a,b]$ .

Saya dapat menghitung pdf gabungan dari $(X_1,X_2)$ dan pdf marginal dari $X_1$ .

hal (x_{1}, x_{2}) = \frac{1}{x_{1}}, untuk 0 \leq x_{1} \leq 1, 0 \leq x_{2} \leq x_{1},

$p(x_1,x_2) = \frac{1}{x_1}, \text{ for }\quad 0\le x_1\le 1, \quad 0\le x_2 \le x_1,$

hal (x_{1}) = 1, untuk 0 \leq x_{1} \leq 1.

$p(x_1)= 1, \text{ for } \quad 0\le x_1\le 1.$

Namun saat menghitung marginal pdf dari $X_2$ Saya menghadapi masalah batasan. Hasil integral dari marginal dari $X_2$ adalah $\log(X_1)$ dan batasnya adalah dari 0 hingga 1. As $\log(X_1)$ tidak ditentukan untuk $X_1=0$ , Saya menghadapi kesulitan.

Apakah saya salah di suatu tempat? Terima kasih.

pdf marginal joint-distribution Andre Silva
sumber

Apakah Anda kebetulan X2 didistribusikan sebagai U [0, X1]?

SheldonCooper

SheldonCopper: Itu benar. Saya akan mengubahnya.

Batas untuk marjinal

X_{2}

$X_2$ bukan dari 0 hingga 1 kecuali saat

X_{2} = 0

$X_2 = 0$ .

whuber

Terimakasih Anda benar. Jadi, kita harus mengganti batas untuk kepadatan marginal X2 sebagai X1 = X2 ke X1 = 1.

Jawaban:

Dalam integral "marginalisasi", batas bawah untuk $x_1$ tidak $0$ tapi $x_2$ (karena $0<x_2<x_1$ kondisi).

Jadi integralnya harus:

hal (x_{2}) = \int hal (x_{1}, x_{2}) d x_{1} = \int \frac{saya (0 \leq x_{2} \leq x_{1} \leq 1)}{x_{1}} d x_{1} = \int_{x_{2}}^{1} \frac{d x_{1}}{x_{1}} = l Hai g (\frac{1}{x_{2}})

$p(x_2)=\int p(x_1,x_2) dx_1=\int \frac{I(0\leq x_2\leq x_1\leq 1)}{x_1} dx_1=\int_{x_2}^{1} \frac{dx_1}{x_1}=log\big(\frac{1}{x_2}\big)$

Anda telah menemukan, apa yang saya pikir adalah salah satu bagian tersulit dari integral statistik - menentukan batas-batas integrasi.

CATATAN: Ini konsisten dengan jawaban Henry, milik saya adalah PDF, dan miliknya adalah CDF. Membedakan jawabannya memberi Anda milikku, yang menunjukkan kami berdua benar.

probabilityislogic
sumber

Ya, saya sudah mengetahuinya sebelum Anda memberikan jawaban :) ... Terima kasih.

\log (1 / x_{2}) = - \log (x_{2})

$\log (1/x_2) = - \log (x_2)$ itulah yang saya temukan

Henry

Anda seharusnya tidak $X_1$ dalam distribusi marginal untuk $X_2$

Saya berharap Anda mendapatkannya $P(X_2 \le x_2) = x_2 (1-\log(x_2))$ dan turunannya memberikan densitas marginal dari $-\log(x_2)$ .

Ini berasal dari $P(X_2 \le x_2 |X_1=x_1) = 1$ jika $x_1 \le x_2$ , dan $P(X_2 \le x_2 |X_1=x_1) = \frac{x_2}{x_1}$ jika $x_2 \le x_1$ jadi integralnya adalah

P (X_{2} \leq x_{2}) = \int_{x_{1} = 0}^{x_{2}} d x_{1} + \int_{x_{1} = x_{2}}^{1} \frac{x_{2}}{x_{1}} d x_{1}

$P(X_2 \le x_2) = \int_{x_1=0}^{x_2} dx_1 + \int_{x_1=x_2}^{1} \frac{x_2}{x_1} dx_1$

= {[x_{1}]}_{x_{1} = 0}^{x_{1} = x_{2}} + {[x_{2} catatan (x_{1})]}_{x_{1} = x_{2}}^{x_{1} = 1}

$= \left[ x_1 \right]_{x_1=0}^{x_1=x_2} + \left[x_2 \log(x_1)\right]_{x_1=x_2}^{x_1=1}$

= x_{2} - 0 + x_{2} catatan (1) - x_{2} catatan (x_{2})

$= x_2 - 0 +x_2 \log(1) - x_2 \log(x_2)$

= x_{2} (1 - catatan (x_{2}))

$= x_2 (1-\log(x_2))$

Henry
sumber

Henry: log (X1) adalah setelah mengintegrasikan (tetapi sebelum mengganti batas) untuk marginal X2. P (X2) Anda salah. Saya percaya Anda mengintegrasikan log (X1) yang saya katakan yang kami dapatkan setelah integrasi itu sendiri.

@ Salam: pengujian menggunakan R, jelas bagi saya itu

P (X_{2} \leq x_{2}) = x_{2} (1 - \log (x_{2}))

$P(X_2 \le x_2) = x_2 (1-\log(x_2))$ sudah benar untuk

0 < x_{2} < 1

$0 < x_2 < 1$ . Saya juga telah memperluas integral untuk menunjukkan bagaimana ini diperoleh. Jadi yang mana

P (X_{2})

$P(X_2)$ apakah menurut Anda salah?

Henry

P (X2) = int (1 / X1).

Terima kasih Henry. Tapi saya pikir apa yang Anda lakukan benar, namun marjinal X2 akan menjadi

l n (X_{1})

$ln(X_1)$ tanpa batas.

X_{1} \leq 1

$X_1 \le 1$ begitu

\ln (x_{1}) \leq 0

$\ln(x_1) \le 0$ , yang berarti tidak bisa menjadi fungsi kepadatan atau distribusi. Dan saya masih berpikir

X_{1}

$X_1$ seharusnya tidak muncul dalam distribusi marjinal

X_{2}

$X_2$ . en.wikipedia.org/wiki/Marginal_distribution mengatakan hal yang sama dalam "Distribusi variabel marginal (distribusi marginal) diperoleh dengan memarginalkan distribusi variabel yang dibuang, dan variabel yang dibuang dikatakan telah dipinggirkan. . "

Henry