Saya memiliki distribusi yang diamati secara eksperimental yang terlihat sangat mirip dengan gamma atau distribusi lognormal. Saya telah membaca bahwa distribusi lognormal adalah distribusi probabilitas entropi maksimum untuk varian acak yang rerata dan varians dari tetap. Apakah distribusi gamma memiliki sifat serupa?ln ( X )
29
Jawaban:
Adapun perbedaan kualitatif, lognormal dan gamma, seperti yang Anda katakan, sangat mirip.
Memang, dalam praktiknya mereka sering digunakan untuk memodelkan fenomena yang sama (beberapa orang akan menggunakan gamma di mana yang lain menggunakan lognormal). Keduanya, misalnya, model variasi koefisien konstan (CV untuk lognormal adalah , untuk gamma itu1/√eσ2−1−−−−−−√ ).1/α−−√
[Bagaimana bisa konstan jika tergantung pada parameter, Anda bertanya? Ini berlaku ketika Anda memodelkan skala (lokasi untuk skala log); untuk lognormal, bertindak sebagai parameter skala, sedangkan untuk gamma, skala adalah parameter yang bukan parameter bentuk (atau kebalikannya jika Anda menggunakan parameterisasi bentuk-bentuk). Saya akan memanggil parameter skala untuk distribusi gamma β . Gamma GLM memodelkan rata-rata ( μ = α β ) sambil menahan α konstan; dalam hal itu μ juga merupakan parameter skala. Model dengan μ dan konstanta α atau σ yang bervariasi masing-masing akan memiliki CV yang konstan.]μ β μ=αβ α μ μ α σ
Anda mungkin menemukan cara untuk melihat kepadatan log mereka , yang sering menunjukkan perbedaan yang sangat jelas.
Log dari variabel acak lognormal adalah ... normal. Ini simetris.
Log variabel acak gamma adalah condong ke kiri. Bergantung pada nilai parameter bentuk, mungkin cukup miring atau hampir simetris.
Berikut ini sebuah contoh, dengan lognormal dan gamma memiliki mean 1 dan varians 1/4. Plot atas menunjukkan kepadatan (gamma berwarna hijau, lognormal berwarna biru), dan plot yang lebih rendah menunjukkan kepadatan log:
(Memplot log dari kepadatan log juga berguna. Artinya, mengambil skala log pada sumbu y di atas)
Perbedaan ini menyiratkan bahwa gamma memiliki lebih banyak ekor di sebelah kiri, dan lebih sedikit dari ekor di sebelah kanan; Ekor lognormal paling kanan lebih berat dan ekor kirinya lebih ringan. Dan memang, jika Anda melihat kemiringan, dari lognormal dan gamma, untuk koefisien variasi yang diberikan, lognormal lebih condong ke kanan ( ) daripada gamma ( 2 CV ).CV3+ 3 CV 2 CV
sumber
Untuk menjawab pertanyaan Anda tentang proses fisik yang menghasilkan distribusi ini: Distribusi lognormal muncul ketika logaritma X terdistribusi secara normal, misalnya, jika X adalah produk dari banyak faktor kecil. Jika X terdistribusi gamma, itu adalah jumlah dari banyak varian terdistribusi eksponensial. Misalnya, waktu tunggu untuk banyak acara proses Poisson.
sumber