Stat prof saya pada dasarnya mengatakan, jika diberikan salah satu dari tiga berikut, Anda dapat menemukan dua lainnya:
- Fungsi distribusi kumulatif
- Fungsi Menghasilkan Saat
- Fungsi Kerapatan Probabilitas
Tetapi profesor ekonometrik saya mengatakan CDF lebih mendasar daripada PDF karena ada contoh di mana Anda dapat memiliki CDF tetapi PDF tidak didefinisikan.
Apakah CDF lebih mendasar daripada PDF? Bagaimana saya tahu apakah PDF atau MGF dapat diturunkan dari CDF?
probability
pdf
cdf
mgf
Stan Shunpike
sumber
sumber
Jawaban:
Setiap distribusi probabilitas pada (subset dari) memiliki fungsi distribusi kumulatif , dan secara unik mendefinisikan distribusi. Jadi, dalam pengertian ini, CDF memang sama mendasarnya dengan distribusi itu sendiri.Rn
Sebuah fungsi kepadatan probabilitas , namun ada hanya untuk (benar-benar) distribusi probabilitas kontinu . Contoh paling sederhana dari distribusi yang tidak memiliki PDF adalah distribusi probabilitas diskrit , seperti distribusi variabel acak yang hanya mengambil nilai integer.
Tentu saja, distribusi probabilitas diskrit tersebut dapat ditandai dengan fungsi massa probabilitas sebagai gantinya, tetapi ada juga distribusi yang tidak memiliki dan PDF atau PMF, seperti campuran apa pun dari distribusi kontinu dan distribusi diskrit:
(Diagram tanpa malu-malu dicuri dari jawaban Glen_b untuk pertanyaan terkait.)
Bahkan ada distribusi probabilitas singular , seperti distribusi Cantor , yang tidak dapat dijelaskan bahkan dengan kombinasi PDF dan PMF. Distribusi seperti itu masih memiliki CDF yang terdefinisi dengan baik. Sebagai contoh, berikut adalah CDF dari distribusi Cantor, juga kadang-kadang disebut "tangga Iblis":
( Gambar dari Wikimedia Commons oleh pengguna Theon dan Amirki , digunakan di bawah CC-By-SA 3.0 .)
CDF, yang dikenal sebagai fungsi Cantor , kontinu tetapi tidak sepenuhnya kontinu. Bahkan, itu konstan di mana-mana kecuali pada set Cantor dari nol ukuran Lebesgue, tetapi yang masih mengandung banyak poin. Dengan demikian, seluruh massa probabilitas distribusi Cantor terkonsentrasi pada subset kecil dari garis bilangan nyata, tetapi setiap titik dalam himpunan masih secara individual memiliki probabilitas nol.
Ada juga distribusi probabilitas yang tidak memiliki fungsi penghasil momen . Mungkin contoh yang paling dikenal adalah distribusi Cauchy , distribusi berekor gemuk yang tidak memiliki momen pesanan 1 atau lebih tinggi (dengan demikian, khususnya, tidak memiliki mean atau varian yang terdefinisi dengan baik!).
Akan tetapi, semua distribusi probabilitas pada memiliki fungsi karakteristik (yang mungkin dinilai dengan rumit ), yang definisinya berbeda dari MGF hanya dengan perkalian dengan unit imajiner . Dengan demikian, fungsi karakteristik dapat dianggap sebagai fundamental seperti CDF.Rn
sumber
Saya percaya profesor ekonometrik Anda memikirkan sesuatu seperti ini.
Dengan definisi PDF, kita harus punya
kami akan membutuhkan
Anda dapat memulihkan semangat PDF, tetapi Anda harus menggunakan objek matematika yang lebih canggih, baik ukuran atau distribusi .
sumber
Ilmari memberikan jawaban yang baik dari perspektif teoretis. Namun, orang mungkin juga bertanya apa tujuan kepadatan (pdf) dan fungsi distribusi (pdf) berfungsi untuk perhitungan praktis. Ini bisa menjelaskan situasi mana yang lebih bermanfaat secara langsung daripada yang lain.
Kepadatan itu, bagaimanapun, penting untuk statistik, karena kemungkinan didefinisikan dalam hal kepadatan. Jadi jika kita ingin menghitung estimasi kemungkinan maksimum, kita secara langsung membutuhkan kepadatan.
Jika kita beralih ke perbandingan distribusi empiris dan teoretis, keduanya dapat berguna, tetapi metode seperti pp- dan qq-plot berdasarkan fungsi distribusi sering lebih disukai.
sumber