Properti standar bivariat normal dan probabilitas kondisional tersirat dalam model Roy

Maaf untuk judul yang panjang, tetapi masalah saya cukup spesifik dan sulit dijelaskan dalam satu judul.

Saat ini saya belajar tentang Model Roy (analisis efek pengobatan).

Ada satu langkah derivasi pada slide saya, yang saya tidak mengerti.

Kami menghitung hasil yang diharapkan dengan pengobatan dalam kelompok tretment (dummy D adalah pengobatan atau bukan pengobatan). Ini ditulis sebagai

$$\begin{align} E[Y_1|D=1] \end{align}$$

sejak $Y_1=\mu_1 + U_1$ ini dapat ditulis ulang sebagai

$$\begin{align} E[Y_1|D=1] &= E[\mu_1+U_1|D=1]\\ &=\mu_1+ E[U_1|D=1] \end{align}$$ sebelum kami juga mengatakan, itu $D=1$ jika $Y_1>Y_0$ jadi berikut:

$Y_1-Y_0>0$

$\mu_1+U_1-(\mu_0-U_0)>0$

$(\mu_1+U_1)/\sigma-(\mu_0-U_0)/ \sigma >0$

$Z-\epsilon>0$

begitu $D=1$ jika $\epsilon<Z$

Karena itu ia berpendapat, bahwa

$$\begin{align} E[Y_1|D=1] &=\mu_1 + E[U_1|\epsilon<Z] \end{align}$$

Lebih lanjut diketahui, bahwa

$$\begin{align} \begin{bmatrix} U_1 \\ U_0 \\ \epsilon \end{bmatrix}=N\left( \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \sigma_1^2 & \sigma_{10} & \sigma_{1\epsilon} \\ \sigma_{10} & \sigma_{0}^2 & \sigma_{0\epsilon} \\ \sigma_{1\epsilon} & \sigma_{0\epsilon} & \sigma_{\epsilon}^2 \end{bmatrix}\right) \end{align}$$

oleh karena itu berikut: $P(D=1)=P(\epsilon<Z)=\Phi(Z)$

Jadi sekarang pertanyaan saya, slide mengatakan, itu

$$\begin{align} \mu_1 - E[U_1|\epsilon<Z] =\mu_1 - \sigma_{1\epsilon} \frac{\phi(Z)}{\Phi(Z)} \end{align}$$ Dan saya tidak mengerti kenapa?

Saya tahu, bahwa jika dua variabel acak mengikuti distribusi normal bivariat standar: $E[u_1|u_2)=\rho u_2$

begitu $E[u_1|u_2>c)=E[\rho u_2|u_2>c]=\rho E[u_2|u_2>c)=\rho\frac{\phi(c)}{1-\Phi(c)}$

Karena itu saya akan mengharapkan "plus" dan bukan tanda minus? Juga mengapa kita menggunakan kovarians$\sigma_{1\epsilon}$ dan bukan korelasinya $\rho$? Jadi saya akan mengharapkan sesuatu seperti

$$\begin{align} \mu_1 - E[U_1|\epsilon<Z] =\mu_1 + \rho \frac{\phi(Z)}{\Phi(Z)} \end{align}$$

Saya menyadari fakta, bahwa jika saya melakukan pemotongan dari atas $1-\Phi(c)$ menjadi a $\Phi(c)$.

Pertama, dalam model Roy, $\sigma_{\varepsilon}^{2}$ dinormalisasi menjadi $1$untuk alasan identifikasi (lihat Cameron dan Trivedi: Mikroekonometrik: metode dan aplikasi). Saya akan mempertahankan normalisasi ini setelahnya. Untuk menjawab pertanyaan Anda, mari tunjukkan

$$\mathrm{{E}}\left(U_{1}\mid\varepsilon<Z\right)=-\sigma_{1\varepsilon}\frac{\phi\left(Z\right)}{\Phi\left(Z\right)}$$ pertama. Sini$\phi$ dan $\Phi$adalah pdf dan cdf dari distribusi normal standar, masing-masing. Catat itu $$\mathrm{E}\left(U_{1}\mid\varepsilon<Z\right)=\mathrm{E}\left(\mathrm{E}\left(U_{1}\mid\varepsilon\right)\mid\varepsilon<Z\right)$$ oleh hukum harapan berulang. Vektor$\left(U_{1},\varepsilon\right)$ adalah normal bivariat dengan mean $\left(0,0\right)'$ dan matriks kovarians $$\left[\begin{array}{cc} \sigma_{1}^{2} & \sigma_{1\epsilon}\\ & 1 \end{array}\right].$$ Berarti bersyarat $\mathrm{{E}}\left(U_{1}\mid\varepsilon\right)=\sigma_{1\varepsilon}\varepsilon$ (catat bahwa kovarians bukan korelasi muncul di sini karena $\sigma_{\varepsilon}^{2}=1$). Jadi, $$\mathrm{E}\left(U_{1}\mid\varepsilon<Z\right)=\sigma_{1\varepsilon}\mathrm{E}\left(\varepsilon\mid\varepsilon<Z\right).$$ Fungsi kepadatan $\varepsilon\mid\varepsilon<Z$ adalah $$f\left(\varepsilon\mid\varepsilon<Z\right)=\begin{cases} \frac{\phi\left(\varepsilon\right)}{\Phi\left(Z\right)}, & -\infty<\varepsilon<Z;\\ 0, & \varepsilon\geq Z. \end{cases}$$ Berarti bersyarat $\mathrm{E}\left(\varepsilon\mid\varepsilon<Z\right)$ adalah $$\begin{eqnarray*} \mathrm{E}\left(\varepsilon\mid\varepsilon<Z\right) & = & \int_{-\infty}^{Z}t\frac{\phi\left(t\right)}{\Phi\left(Z\right)}\,\mathrm{{d}}t\\ & = & \frac{1}{\Phi\left(Z\right)}\int_{-\infty}^{Z}t\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{2}t^{2}\right)\,\mathrm{{d}}t\\ & = & -\frac{1}{\Phi\left(Z\right)}\int_{-\infty}^{Z}\frac{\partial}{\partial t}\left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{2}t^{2}\right)\right\} \,\mathrm{{d}}t\\ & = & -\frac{1}{\Phi\left(Z\right)}\left(\phi\left(Z\right)-\phi\left(-\infty\right)\right). \end{eqnarray*}$$ Perhatikan bagaimana tanda negatif keluar. Jadi,$\mathrm{E}\left(\varepsilon\mid\varepsilon<Z\right)=-\phi\left(Z\right)/\Phi\left(Z\right)$, dan kesimpulannya berikut.