Jika didistribusikan secara eksponensial dengan parameter dan saling independen, apa harapan dari ( i = 1 , . . . , N ) λ X i
dalam hal dan dan mungkin konstanta lainnya?λ
Catatan: Pertanyaan ini mendapatkan jawaban matematis di /math//q/12068/4051 . Para pembaca juga akan melihatnya.
Jawaban:
Jika , maka (di bawah independensi), , maka adalah gamma yang didistribusikan (lihat wikipedia ). Jadi, kita hanya butuh . Karena , kita tahu bahwa . Oleh karena itu, (lihat wikipedia untuk harapan dan varian dari distribusi gamma).y = ∑ x i ∼ G a m m a ( n , 1 / λ ) y E [ y 2 ] V a r [ y ] = E [ y 2 ] - E [ y ] 2 E [ y 2 ] = V a r [xi∼Exp(λ) y=∑xi∼Gamma(n,1/λ) y E[y2] Var[y]=E[y2]−E[y]2 E [ y 2 ] = n / λ 2 + n 2 / λ 2 = n ( 1 + n ) / λ 2E[y2]=Var[y]+E[y]2 E[y2]=n/λ2+n2/λ2=n(1+n)/λ2
sumber
Jawaban di atas sangat bagus dan sepenuhnya menjawab pertanyaan tetapi saya akan, sebaliknya, memberikan formula umum untuk kuadrat jumlah yang diharapkan dan menerapkannya pada contoh spesifik yang disebutkan di sini.
Untuk setiap set konstanta itu adalah faktaa1,...,an
ini benar oleh properti Distributive dan menjadi jelas ketika Anda mempertimbangkan apa yang Anda lakukan saat menghitung dengan tangan.(a1+...+an)⋅(a1+...+an)
Oleh karena itu, untuk sampel variabel acak , terlepas dari distribusinya,X1,...,Xn
asalkan harapan ini ada.
Dalam contoh dari masalah, adalah iid variabel acak, yang memberi tahu kita bahwa dan untuk setiap . Dengan kemerdekaan, untuk , kita punyaX1,...,Xn exponential(λ) E(Xi)=1/λ var(Xi)=1/λ2 i i≠j
Ada dari persyaratan ini dalam penjumlahan. Ketika , sudahn2−n i=j
dan ada dari istilah ini dalam jumlah. Oleh karena itu, menggunakan rumus di atas,n
adalah jawaban anda
sumber
Masalah ini hanyalah kasus khusus dari masalah 'momen momen' yang lebih umum yang biasanya didefinisikan dalam notasi jumlah daya. Secara khusus, dalam notasi jumlah daya:
Kemudian, terlepas dari distribusi , poster asli mencari (asalkan momen ada). Karena operator ekspektasi hanyalah 1st Raw Moment, solusinya diberikan dalam perangkat lunak mathStatica oleh:E[s21]
['___ToRaw' berarti kami menginginkan solusi yang disajikan dalam hal momen mentah dari populasi (daripada mengatakan momen sentral atau kumulan). ]
Akhirnya, jika ~ Eksponensial ( ) dengan pdf :λ f ( x )X λ f(x)
maka kita dapat mengganti momen dalam solusi umum dengan nilai aktual untuk variabel acak Eksponensial, seperti:μi
sol
Semua selesai.
PS Alasan solusi lain yang diposting di sini menghasilkan jawaban dengan dalam penyebut daripada pembilang, tentu saja, karena mereka menggunakan parameterisasi yang berbeda dari distribusi Eksponensial. Karena OP tidak menyatakan versi mana yang ia gunakan, saya memutuskan untuk menggunakan definisi buku teks teori distribusi standar Johnson Kotz et al ... hanya untuk menyeimbangkan semuanya :)λ2
sumber