34

Saya akan memulai dengan mengatakan ini adalah masalah pekerjaan rumah langsung dari buku ini. Saya telah menghabiskan beberapa jam mencari cara menemukan nilai yang diharapkan, dan telah memutuskan saya tidak mengerti apa-apa.

Biarkan memiliki CDF . Temukan untuk nilai-nilai yang ada. $X$ $F(x) = 1 - x^{-\alpha}, x\ge1$
$E(X)$ $\alpha$ $E(X)$

Saya tidak tahu bagaimana memulai ini. Bagaimana saya bisa menentukan nilai ada? Saya juga tidak tahu apa yang harus dilakukan dengan CDF (saya berasumsi ini berarti Fungsi Distribusi Kumulatif). Ada rumus untuk menemukan nilai yang diharapkan ketika Anda memiliki fungsi frekuensi atau fungsi kerapatan. Wikipedia mengatakan CDF dapat didefinisikan dalam hal fungsi kerapatan probabilitas sebagai berikut: $\alpha$ $X$ $f$

$F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt$

Sejauh ini yang saya dapat. Kemana saya harus pergi dari sini?

EDIT: Saya bermaksud menaruh $x\ge1$ .

self-study expected-value styfle
sumber

19

Diedit untuk komentar dari probabilityislogic

Perhatikan bahwa dalam kasus ini sehingga distribusi memiliki probabilitas kurang dari , jadi , dan Anda juga akan membutuhkan untuk peningkatan cdf. $F(1)=0$ $0$ $1$ $x \ge 1$ $\alpha > 0$

Jika Anda memiliki cdf maka Anda ingin anti-integral atau turunannya yang dengan distribusi berkelanjutan seperti ini

f (x) = \frac{d F (x)}{d x}

$f(x) = \frac{dF(x)}{dx}$

dan sebaliknya untuk . $F(x) = \int_{1}^x f(t)\,dt$ $x \ge 1$

Kemudian untuk menemukan harapan yang perlu Anda temukan

E [X] = \int_{1}^{\infty} x f (x) d x

$E[X] = \int_{1}^{\infty} x f(x)\,dx$

asalkan ini ada. Saya akan menyerahkan kalkulus kepada Anda.

Henry
sumber

3

@henry -

, jadi dukungan tidak boleh di bawah 1 (karena CDF adalah fungsi yang tidak berkurang)

F (1) = 1 - 1^{- α} = 1 - 1 = 0

$F(1)=1-1^{-\alpha}=1-1=0$

probabilityislogic

@probabilityislogic: Anda mungkin benar dalam hal buku. Saya akan mengubah respons saya.

Henry

Terima kasih atas tanggapannya. Apa yang diwakili oleh f (x)? Fungsi kepadatan probabilitas? Apakah turunan dari cdf selalu f (x)?

styfle

1

memang seharusnya menjadi fungsi kerapatan probabilitas. Jika cdf memiliki turunan maka itu adalah kepadatan, meskipun ada distribusi (misalnya diskrit) di mana cdf tidak memiliki turunan di mana

f (x)

$f(x)$

Henry

1

@styfle: Jika ada maka

, dan juga untuk harapan fungsi lain

.

E [X^{2}] = \int_{1}^{\infty} x^{2} f (x) d x

$E[X^2] = \int_{1}^{\infty} x^2 f(x)\,dx$

x

$x$

Henry

71

Penggunaan fungsi kerapatan tidak diperlukan

Integrasikan 1 dikurangi CDF

Ketika Anda memiliki variabel acak yang memiliki dukungan yang non-negatif (yaitu, variabel memiliki kepadatan / probabilitas nol untuk hanya nilai-nilai positif), Anda dapat menggunakan properti berikut: $X$

E (X) = \int_{0}^{\infty} (1 - F_{X} (x)) d x

$E(X) = \int_0^\infty \left( 1 - F_X(x) \right) \,\mathrm{d}x$

Properti serupa berlaku dalam kasus variabel acak diskrit.

Bukti

Karena , $1 - F_X(x) = P(X\geq x) = \int_x^\infty f_X(t) \,\mathrm{d}t$

\int_{0}^{\infty} (1 - F_{X} (x)) d x = \int_{0}^{\infty} P (X \geq x) d x = \int_{0}^{\infty} \int_{x}^{\infty} f_{X} (t) d t d x

$\int_0^\infty \left( 1 - F_X(x) \right) \,\mathrm{d}x = \int_0^\infty P(X\geq x) \,\mathrm{d}x = \int_0^\infty \int_x^\infty f_X(t) \,\mathrm{d}t \mathrm{d}x$

Kemudian ubah urutan integrasi:

= \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{t} f_{X} (t) d x d t = \int_{0}^{\infty} {[x f_{X} (t)]}_{0}^{t} d t = \int_{0}^{\infty} t f_{X} (t) d t

$= \int_0^\infty \int_0^t f_X(t) \,\mathrm{d}x \mathrm{d}t = \int_0^\infty \left[xf_X(t)\right]_0^t \,\mathrm{d}t = \int_0^\infty t f_X(t) \,\mathrm{d}t$

Menyadari bahwa adalah variabel dummy, atau mengambil sederhana substitusi dan , $t$ $t=x$ $\mathrm{d}t = \mathrm{d}x$

= \int_{0}^{\infty} x f_{X} (x) d x = E (X)

$= \int_0^\infty x f_X(x) \,\mathrm{d}x = \mathrm{E}(X)$

Atribusi

Saya menggunakan rumus untuk bagian kasus khusus dari artikel nilai yang diharapkan di Wikipedia untuk menyegarkan ingatan saya pada buktinya. Bagian itu juga berisi bukti untuk kasus variabel acak diskrit dan juga untuk kasus bahwa tidak ada fungsi kerapatan.

Firefeather
sumber

1

+1 hasil hebat: integral dari cdf benar-benar sederhana, apalagi, bijaksana untuk menghindari turunan, kapan pun kita bisa (mereka tidak berperilaku baik sebagai integral;)). Tambahan: menggunakan cdf untuk menghitung varians, lihat di sini math.stackexchange.com/questions/1415366/…

loved.by.Yesus

2

Ketika Anda mengubah urutan integrasi, bagaimana Anda mendapatkan batas integrasi?

Zaz

Bukti standar tidak menganggap bahwa

memiliki kerapatan.

X

$X$

ae0709

@Zaz kita menetapkan batas integrasi sehingga bagian yang sama dari (t, x) ruang tertutup. Batasan aslinya adalah x> 0 dan t> x. Kita tidak dapat memiliki batas luar tergantung pada variabel dalam, tetapi kita dapat mendefinisikan wilayah yang sama dengan t> 0 dan 0 <x <t. Contoh-contoh bagus dari proses ini di sini: mathinsight.org/...

fredcallaway

12

Hasilnya meluas ke momen juga. Berikut ini adalah representasi grafis: $k$ $X$

StijnDeVuyst
sumber

8

Saya pikir Anda benar-benar berarti , jika CDF kosong, karena . $x\geq 1$ $F(1)=1-1^{-\alpha}=1-1=0$

Apa yang Anda "ketahui" tentang CDF adalah bahwa mereka akhirnya mendekati nol ketika argumen berkurang tanpa terikat dan akhirnya mendekati satu sebagai . Mereka juga tidak menurun, jadi ini berarti untuk semua . $x$ $x \to \infty$ $0\leq F(y)\leq F(x)\leq 1$ $y\leq x$

Jadi jika kita pasang CDF, kita dapat:

0 \leq 1 - x^{- α} \leq 1 ⟹ 1 \geq \frac{1}{x^{α}} \geq 0 ⟹ x^{α} \geq 1 > 0 ⟹ x \geq 1 .

$0\leq 1-x^{-\alpha}\leq 1\implies 1\geq \frac{1}{x^{\alpha}}\geq 0\implies x^{\alpha}\geq 1 > 0\implies x\geq 1 \>.$

Dari sini kami menyimpulkan bahwa dukungan untuk adalah . Sekarang kita juga memerlukan yang menyiratkan bahwa $x$ $x\geq 1$ $\lim_{x\to\infty} F(x)=1$ $\alpha>0$

Untuk mengetahui nilai apa yang ada dalam harapan, kami membutuhkan:

E (X) = \int_{1}^{\infty} x \frac{d F (x)}{d x} d x = α \int_{1}^{\infty} x^{- α} d x

$\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}E(X)=\int_{1}^{\infty}x\frac{\rd F(x)}{\rd x}\rd x=\alpha\int_{1}^{\infty}x^{-\alpha} \rd x$

$E(X)$ $-\alpha<-1$ $\alpha>1$ $\alpha$ $r$ $E(X^{r})$

probabilityislogic
sumber

(+1) Khusus untuk pengakuan mata tajam bahwa dukungan yang diberikan tidak benar.

kardinal

Terima kasih atas tanggapannya. Saya memperbaiki pertanyaan. Saya bermaksud menempatkan x> = 1. Bagaimana Anda tahu untuk pertama-tama membedakan cdf untuk mendapatkan fungsi kepadatan?

styfle

@styfle - karena itulah PDF, kapan pun CDF kontinu dan dapat dibedakan. Anda dapat melihat ini dengan melihat bagaimana Anda mendefinisikan CDF Anda. Membedakan integral hanya memberi Anda integand ketika batas atas adalah subjek diferensiasi.

probabilityislogic

1

P r (x < X < x + d x) = F (x + d x) - F (x) \to \frac{d F (x)}{d x} d x = f (x) d x

$Pr(x<X<x+dx)=F(x+dx)-F(x)\to \frac{dF(x)}{dx}dx=f(x)dx$ as

d x \to 0

$dx\to 0$ . This way holds more generally, even for discrete RV and RV without a density (the limit is just something other than a derivative)

probabilityislogic

1

The Answer requiring change of order is unnecessarily ugly. Here's a more elegant 2 line proof.

$\int udv = uv - \int vdu$

Now take $du = dx$ and $v = 1- F(x)$

$\int_{0}^{\infty} [ 1- F(x)] dx = [x(1-F(x)) ]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} x f(x)dx$

$= 0 + \int_{0}^{\infty} x f(x)dx$

$= \mathbb{E}[X] \qquad \blacksquare$

chirag nagpal
sumber

I think you mean to let du-dx so that u=x.

Michael R. Chernick

Temukan nilai yang diharapkan menggunakan CDF

Jawaban:

Penggunaan fungsi kerapatan tidak diperlukan

Integrasikan 1 dikurangi CDF

Bukti

Atribusi