Bisakah seseorang menawarkan contoh distribusi unimodal yang memiliki kemiringan nol tetapi yang tidak simetris?

Pada Mei 2010, pengguna Wikipedia Mcorazao menambahkan kalimat pada artikel skewness bahwa "Nilai nol menunjukkan bahwa nilai-nilai tersebut didistribusikan secara merata di kedua sisi rata-rata, biasanya tetapi tidak selalu menyiratkan distribusi simetris." Namun, halaman wiki tidak memiliki contoh distribusi aktual yang melanggar aturan ini. Googling "contoh distribusi asimetris dengan nol skewness" juga tidak memberikan contoh nyata, setidaknya dalam 20 hasil pertama.

Menggunakan definisi bahwa kemiringan dihitung oleh , dan R rumus$\operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{X-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Big]$

sum((x-mean(x))^3)/(length(x) * sd(x)^3)

Saya dapat membangun distribusi kecil yang sewenang-wenang untuk membuat kemiringan rendah. Misalnya saja distribusi

x = c(1, 3.122, 5, 4, 1.1) 

menghasilkan kemiringan . Tapi ini sampel kecil dan apalagi penyimpangan dari simetri tidak besar. Jadi, mungkinkah membangun distribusi yang lebih besar dengan satu puncak yang sangat asimetris tetapi masih memiliki kemiringan hampir nol?$-5.64947\cdot10^{-5}$

Pertimbangkan distribusi diskrit. Salah satu yang didukung pada nilai x 1 , x 2 , ... , x k ditentukan oleh probabilitas non-negatif p 1 , p 2 , ... , p k tunduk pada kondisi yang (a) dijumlahkan menjadi 1 dan (b) koefisien kemiringan sama dengan 0 (yang setara dengan momen pusat ketiga menjadi nol). Itu menyisakan k - 2 derajat kebebasan (dalam arti penyelesaian persamaan, bukan statistik!). Kita bisa berharap menemukan solusi yang unimodal.$k$$x_1, x_2,\ldots, x_k$$p_1, p_2,\ldots, p_k$$k-2$

Untuk mempermudah pencarian contoh, saya mencari solusi yang didukung oleh vektor simetris kecil dengan mode unik pada 0 , rata-rata nol, dan nol kemiringan . Salah satu solusi tersebut adalah ( p 1 , ... , p 7 ) = ( 1396 , 3286 , 9586 , 47386 , 8781 , 3930 $\mathbf{x}=(-3,-2,-1,0,1,2,3)$$0$ .$(p_1, \ldots, p_7) = (1396, 3286, 9586, 47386, 8781, 3930, 1235)/75600$

Anda dapat melihatnya asimetris.

Inilah solusi asimetris yang lebih jelas dengan (yang asimetris) dan p = ( 1 , 18 , 72 , 13 , 4 ) / 108 :$\mathbf{x} = (-3,-1,0,1,2)$$p = (1,18, 72, 13, 4)/108$

Sekarang sudah jelas apa yang terjadi: karena mean sama dengan , nilai negatif berkontribusi ( - 3 ) 3 = - 27 dan 18 × ( - 1 ) 3 = - 18 hingga momen ketiga sedangkan nilai positif berkontribusi 4 × 2 3 = 32 dan 13 × 1 3 = 13 , tepatnya menyeimbangkan kontribusi negatif. Kita dapat mengambil distribusi simetris sekitar 0 , seperti x$0$$(-3)^3=-27$$18 \times (-1)^3=-18$$4\times 2^3 = 32$$13 \times 1^3 = 13$$0$ dengan p = ( 1 , 4 , 1 ) / 6 , dan menggeser massa kecil dari + 1 ke + 2 , massa kecil dari + 1 ke - 1 , dan sedikit jumlah massa turun ke - 3 , menjaga mean pada 0 dan kemiringan pada$\mathbf{x}=(-1,0,1)$$\mathbf{p}=(1,4,1)/6$$+1$$+2$$+1$$-1$$-3$$0$$0$juga, sambil menciptakan asimetri. Pendekatan yang sama akan bekerja untuk mempertahankan nol rata-rata dan nol kemiringan dari distribusi kontinu sambil menjadikannya asimetris; jika kita tidak terlalu agresif dengan perpindahan massa, itu akan tetap unimodal.

Edit: Distribusi Berkelanjutan

Karena masalah terus muncul, mari berikan contoh eksplisit dengan distribusi berkelanjutan. Peter Flom punya ide bagus: lihat campuran normals. Campuran dua normals tidak akan berfungsi: ketika kemiringannya menghilang, itu akan menjadi simetris. Kasus paling sederhana berikutnya adalah campuran tiga normals.

Campuran tiga normals, setelah pilihan lokasi dan skala yang tepat, bergantung pada enam parameter nyata dan karenanya harus memiliki fleksibilitas lebih dari cukup untuk menghasilkan solusi nol-skewness yang asimetris. Untuk menemukan beberapa, kita perlu tahu bagaimana menghitung kemiringan campuran normals. Di antara ini, kami akan mencari apa pun yang unimodal (mungkin tidak ada).

Sekarang, secara umum, momen ke- (non-sentral) dari distribusi normal standar adalah nol ketika r aneh dan sebaliknya sama dengan 2 r / 2 Γ ( 1 - $r^\text{th}$$r$ . Ketika kami mengubah skala distribusi normal standar untuk memiliki standar deviasiσ,momenke-rdikalikan denganσr. Ketika kita menggeser distribusi apapun olehμ, barurthsaat dapat dinyatakan dalam momen hingga dan termasukr. Momen campuran distribusi (yaitu, rata-rata tertimbang dari mereka) adalah rata-rata tertimbang yang sama untuk setiap momen. Akhirnya, kemiringan adalah nol tepat ketika momen pusat ketiga adalah nol, dan ini mudah dihitung dalam hal tiga momen pertama.$2^{r/2}\Gamma\left(\frac{1-r}{2}\right)/\sqrt{\pi}$$\sigma$$r^\text{th}$$\sigma^r$$\mu$$r^\text{th}$$r$

Ini memberi kita serangan aljabar pada masalah. Salah satu solusi yang saya temukan adalah campuran yang sama dari tiga normals dengan parameter sama dengan ( 0 , 1 ) , ( 1 / 2 , 1 ) , dan ( 0 , $(\mu, \sigma)$$(0,1)$$(1/2,1)$. Artinya sama dengan(0+1/2+0)/3=1/6. Gambar ini menunjukkan pdf dengan warna biru dan pdf dari distribusimembalik tentang artinyadalam warna merah. Perbedaan mereka menunjukkan bahwa keduanya asimetris. (Mode adalah sekitar0,0519216, yang tidak sama dengan rata-rata1/6). Mereka berdua memiliki nol skewness oleh konstruksi.$(0, \sqrt{127/18}) \approx (0, 2.65623)$$(0 + 1/2 + 0)/3 = 1/6$$0.0519216$$1/6$

Plot menunjukkan ini adalah unimodal. (Anda dapat memeriksa menggunakan Kalkulus untuk menemukan maksimum lokal.)

Ini adalah salah satu yang saya temukan di https://www.qualitydigest.com/inside/quality-insider-article/problems-skewness-and-kurtosis-part-one.html# yang saya anggap bagus dan direproduksi dalam R: invers Burr atau distribusi Dagum dengan parameter bentuk dan c = 18.1484 :$k=0.0629$$c=18.1484$

Ini memiliki rata-rata 0,5387, standar deviasi 0,2907, kemiringan 0,0000, dan kurtosis 2,0000. Sumber juga menyebutnya "distribusi gajah":

Reproduksi saya di R dibuat dengan

library(actuar)
library(knotR)

# a nonsymmetric distribution with zero skewness
# see https://www.qualitydigest.com/inside/quality-insider-article/problems-skewness-and-kurtosis-part-one.html#

c <- 18.1484
k <- 0.0629

x <- seq(0,1.5,by=.0001)

elephant.density <- dinvburr(x, k, c)
plot(x,elephant.density, type="l")
polygon(c(min(x),x),c(min(elephant.density),elephant.density), col="grey")
points(0.8,0.8, pch=19, cex=2)

# "ears" created via https://www.desmos.com/calculator/cahqdxeshd
ear.x <- c(0.686, 0.501, 0.42, 0.68)
ear.y <- c(0.698, 0.315, 1.095, 0.983)

myseg(bezier(cbind(ear.x, ear.y)), type="l")

EX <- gamma(k+1/c)*gamma(1-1/c)/gamma(k) # see p6 of https://wwz.unibas.ch/uploads/tx_x4epublication/23_07.pdf
EX2 <- gamma(k+2/c)*gamma(1-2/c)/gamma(k)
EX3 <- gamma(k+3/c)*gamma(1-3/c)/gamma(k)
(skewness <- (EX3 - 3*EX*(EX2-EX^2)-EX^3)/(EX2-EX^2)^(3/2)) # zero to three digits: 0.0003756196

Seperti yang ditunjukkan oleh hasil ini, kemiringan tidak cukup nol hingga empat digit untuk nilai parameter ini. Ini adalah pengoptimal kecil untuk dan c :$k$$c$

   # optimize skewness a bit further
    skewval <- 1

while (skewval > 10^(-10)){
  optskew.k <- uniroot(skewness.fun, lower = k*.95, upper = k*1.1, tol=skewval^2, c=c)
  skewval <- optskew.k$f.root
  k <- optskew.k$root

  optskew.c <- uniroot(skewness.fun, lower = c*.95, upper = c*1.1, tol=skewval^2, k=k)
  skewval <- optskew.c$f.root
  c <- optskew.c$root
}

menghasilkan

> print(c)
[1] 18.89306

> print(k)
[1] 0.05975542

> print(skewval)
[1] -1.131464e-15

Pertimbangkan distribusi pada bagian positif dari garis nyata yang meningkat secara linear dari 0 ke mode dan kemudian eksponensial ke kanan mode, tetapi kontinu pada mode.

Ini bisa disebut distribusi segitiga-eksponensial (meskipun sering terlihat agak seperti sirip hiu).

$\theta$$\lambda$

$\lambda\theta$$\lambda\theta$$\approx 6.15$

$^{[1]}$$^{[2]}$

Utas Distribusi tidak normal dengan nol kemiringan dan nol kelebihan kurtosis? memiliki beberapa contoh asimetris, termasuk contoh diskrit kecil dan satu lagi unimodal kontinu:

Distribusi unimodal diskrit - atau ekuivalen, sampel - dengan nol kemiringan cukup mudah dibangun, ukuran besar atau kecil.

Berikut ini contoh, yang dapat Anda perlakukan sebagai sampel atau (dengan membagi frekuensi mentah dengan 3000) sebagai PMF (nilai 'x' adalah nilai yang diambil, 'n' adalah berapa kali nilai muncul dalam sampel ):

x:  -2   -1    0    1    2    3    4    5    6    7    8    9   10
n: 496  498  562 1434    2    1    1    1    1    1    1    1    1

Contoh ini dibangun dari distribusi 3 titik:

x:          -2              1                  c
n:   c(c-1)(c+1)/6     c(c-1)(c+1)/3 - c       1

$c$$c$$\sum_i n_ix_i =0$$\sum_i n_ix_i^3 =0$$c$

Ada berbagai macam "atom" lain yang dapat dikonstruksikan, tetapi contoh ini hanya menggunakan jenis ini. Pada beberapa kombinasi atom seperti ini ditambahkan beberapa nilai yang ditempatkan secara simetris untuk mengisi lubang yang tersisa dan menjamin unimodality tanpa menghancurkan struktur mean dan momen ketiga.

$[1]$

$[2]$

Yakin. Coba ini:

skew= function (x, na.rm = FALSE) 
 {
    if (na.rm)    x <- x[!is.na(x)]             #remove missing values
    sum((x - mean(x))^3)/(length(x) * sd(x)^3)  #calculate skew   
 }

set.seed(12929883) 
x = c(rnorm(100, 1, .1), rnorm(100, 3.122, .1), rnorm(100,5, .1), rnorm(100, 4, .1), rnorm(100,1.1, .1))

 skew(x)
 plot(density(x))

(Kamu sudah melakukan hal-hal yang sulit!)

$Y$$Z$$\mu$

$Y$$Z$$\mu$$\mu$

Distribusi diskrit berikut adalah asimetris dan memiliki kemiringan nol: Prob (-4) = 1/3, Prob (1) = 1/2, Prob (5) = 1/6. Saya menemukannya di koran Doric et al., Qual Quant (2009) 43: 481-493; DOI 10.1007 / s11135-007-9128-9