Ini adalah pertanyaan wawancara untuk posisi analis kuantitatif, dilaporkan di sini . Misalkan kita menggambar dari distribusi yang seragam dan gambarnya adalah id, berapa panjang yang diharapkan dari distribusi yang meningkat secara monoton? Yaitu, kita berhenti menggambar jika undian saat ini lebih kecil dari atau sama dengan undian sebelumnya.
Saya mendapatkan beberapa yang pertama:
\ Pr (\ text {length} = 2) = \ int_0 ^ 1 \ int_ {x_1} ^ 1 \ int_0 ^ {x_2} \ mathrm {d} x_3 \, \ mathrm {d} x_2 \, \ mathrm {d} x_1 = 1/3
\ Pr (\ text {length} = 3) = \ int_0 ^ 1 \ int_ {x_1} ^ 1 \ int_ {x_2} ^ 1 \ int_0 ^ {x_3} \ mathrm {d} x_4 \, \ mathrm { d} x_3 \, \ mathrm {d} x_2 \, \ mathrm {d} x_1 = 1/8
tapi saya merasa menghitung integral tersarang ini semakin sulit dan saya tidak mendapatkan "trik" untuk menggeneralisasi ke . Saya tahu jawaban akhir terstruktur
Ada ide tentang bagaimana menjawab pertanyaan ini?
sumber
Metode pemecahan lain yang memberi Anda solusi untuk kasus yang lebih umum.
Misalkan adalah panjang yang diharapkan dari urutan monotonik , sedemikian sehingga . Nilai yang ingin kita hitung adalah . Dan kita tahu . Pengkondisian pada nilai berikutnya,F(x) {x1,x2,...} x≤x1≤x2≤⋯ F(0) F(1)=0
di mana adalah densitas U [0,1]. Begituπ(y)=1
Memecahkan dengan kondisi batas , kita mendapatkan . Maka .F(1)=0 F(x)=e(1−x)−1 F(0)=e−1
sumber
Metode penyelesaian lain adalah dengan menghitung integral secara langsung.
Peluang menghasilkan urutan yang bagian yang bertambah memiliki panjang adalah , di mana .≥n fn(0) fn(x)=∫1x∫1x1∫1x2...∫1xn−2∫1xn−1dxndxn−1...dx2dx1
Yang perlu kita lakukan adalah menghitung .fn(0)
Jika Anda mencoba menghitung beberapa , mungkin Anda akan menemukan bahwafn(x) fn(x)=∑nt=0(−x)tt!(n−t)!
Kasus Dasar: ketika ,n=1 f1(x)=∑1t=0(−x)tt!(n−t)!=1−x=∫1xdx1
Hipotesis Induktif: ketika ,n=k fn(x)=∑kt=0(−x)tt!(k−t)! , for k≥1
Langkah Induktif: ketika ,n=k+1
Dengan Induksi Matematika, asumsi itu berlaku.
Jadi, kita dapatkan bahwafn(0)=1n!
Jadi,E(length)=∑∞n=1Pr(length≥n)=∑∞n=11n!=e−1
sumber