42

Saya bingung. Saya tidak mengerti perbedaan antara ARMA dan proses GARCH .. bagi saya ada yang sama?

Inilah proses (G) ARCH (p, q)

σ_{t}^{2} = \underset{G A R C H}{\underset{⏟}{\underset{A R C H}{\underset{⏟}{α_{0} + \sum_{i = 1}^{q} α_{i} r_{t - i}^{2}}} + \sum_{i = 1}^{p} β_{i} σ_{t - i}^{2}}}

$\sigma_t^2 = \underbrace{ \underbrace{ \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_ir_{t-i}^2} _{ARCH} + \sum_{i=1}^p\beta_i\sigma_{t-i}^2} _{GARCH}$

Dan di sini adalah ARMA ( ): $p, q$

X_{t} = c + ε_{t} + \sum_{i = 1}^{p} φ_{i} X_{t - i} + \sum_{i = 1}^{q} θ_{i} ε_{t - i} .

$X_t = c + \varepsilon_t + \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i} + \sum_{i=1}^q \theta_i \varepsilon_{t-i}.\,$

Apakah ARMA hanyalah perpanjangan dari GARCH, GARCH hanya digunakan untuk pengembalian dan dengan asumsi mana mengikuti proses putih yang kuat? $r = \sigma\varepsilon$ $\varepsilon$

arima garch finance John
sumber

1

Selain jawaban fg nu, proses varians dalam GARCH bervariasi waktu. Namun, ada trik di sini adalah dengan diberikannya rangkaian waktu pengembalian-kembali SP500, maka untuk mendapatkan proses volatilitas apa yang harus kita lakukan? Beberapa orang mengatakan bahwa kita perlu menggunakan model ARMA untuk menarik seri residu, lalu hubungkan seri residu ini ke model GARCH untuk mendapatkan proses varians bersyarat? Atau langsung tancapkan steker log-kembali proses pengembalian log SP500 ke dalam model GARCH untuk mendapatkan varian bersyarat?

48

Anda menggabungkan fitur dari suatu proses dengan perwakilannya. Pertimbangkan proses (kembali) . $(Y_t)_{t=0}^\infty$

Model ARMA (p, q) menentukan mean bersyarat dari proses sebagai

\begin{aligned} E (Y_{t} ∣ I_{t}) & = α_{0} + \sum_{j = 1}^{p} α_{j} Y_{t - j} + \sum_{k = 1}^{q} β_{k} ϵ_{t - k} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{E}(Y_t \mid \mathcal{I}_t) &= \alpha_0 + \sum_{j=1}^p \alpha_j Y_{t-j}+ \sum_{k=1}^q \beta_k\epsilon_{t-k}\\ \end{align}$ Di sini, adalah informasi yang ditetapkan pada waktu , yang merupakan -jabar yang dihasilkan oleh nilai-nilai dari proses hasil .

I_{t}

$\mathcal{I}_t$

t

$t$

σ

$\sigma$

(Y_{t})

$(Y_t)$

Model GARCH (r, s) menentukan varian bersyarat dari proses $\begin{aligned} V (Y_{t} ∣ I_{t}) & = & V (ϵ_{t} ∣ I_{t}) \\ \equiv & σ_{t}^{2} & = & δ_{0} + \sum_{l = 1}^{r} δ_{j} σ_{t - l}^{2} + \sum_{m = 1}^{s} γ_{k} ϵ_{t - m}^{2} \end{aligned}$ $\begin{alignat}{2} & \mathbb{V}(Y_t \mid \mathcal{I}_t) &{}={}& \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t) \\ \equiv \,& \sigma^2_t&{}={}& \delta_0 + \sum_{l=1}^r \delta_j \sigma^2_{t-l} + \sum_{m=1}^s \gamma_k \epsilon^2_{t-m} \end{alignat}$

Perhatikan khususnya kesetaraan pertama . $\mathbb{V}(Y_t \mid \mathcal{I}_t)= \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t)$

Selain itu : Berdasarkan representasi ini, Anda dapat menulis mana adalah proses white noise yang kuat, tetapi ini mengikuti cara prosesnya didefinisikan.

ϵ_{t} \equiv σ_{t} Z_{t}

$\epsilon_t \equiv \sigma_t Z_t$

Z_{t}

$Z_t$

Kedua model (untuk mean bersyarat dan varians) sangat kompatibel satu sama lain, dalam arti proses dapat dimodelkan sebagai ARMA, dan varians sebagai GARCH. Ini mengarah pada spesifikasi lengkap model ARMA (p, q) -GARCH (r, s) untuk proses seperti dalam representasi berikut $\begin{aligned} Y_{t} & = α_{0} + \sum_{j = 1}^{p} α_{j} Y_{t - j} + \sum_{k = 1}^{q} β_{k} ϵ_{t - k} + ϵ_{t} \\ E (ϵ_{t} ∣ I_{t}) & = 0, \forall t \\ V (ϵ_{t} ∣ I_{t}) & = δ_{0} + \sum_{l = 1}^{r} δ_{l} σ_{t - l}^{2} + \sum_{m = 1}^{s} γ_{m} ϵ_{t - m}^{2} \forall t \end{aligned}$ $\begin{align} Y_t &= \alpha_0 + \sum_{j=1}^p \alpha_j Y_{t-j} + \sum_{k=1}^q \beta_k\epsilon_{t-k} +\epsilon_t\\ \mathbb{E}(\epsilon_t\mid \mathcal{I}_t) &=0,\, \forall t \\ \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t) &= \delta_0 + \sum_{l=1}^r \delta_l \sigma^2_{t-l} + \sum_{m=1}^s \gamma_m \epsilon^2_{t-m}\, \forall t \end{align}$

tchakravarty
sumber

Anda harus mengkondisikan informasi pada waktu jika semua regresor tertinggal?

t - 1

$t-1$

Jase

@Jase Perhatikan definisi, "Di sini, adalah informasi yang ditetapkan pada waktu , yang merupakan aljabar yang dihasilkan oleh nilai - nilai yang tertinggal dari proses hasil ." Yaitu, . Beberapa penulis menulis ini sebagai tetapi itu bertentangan dengan gagasan tentang informasi yang ditetapkan pada waktu .

I_{t}

$\mathcal{I}_t$

t

$t$

σ

$\sigma$

(Y_{t})

$(Y_t)$

I_{t} = σ (Y_{t - 1}, Y_{t - 2} \dots,)

$\mathcal{I}_t = \sigma(Y_{t-1}, Y_{t-2}\ldots,)$

I_{t - 1}

$\mathcal{I}_{t-1}$ $t$

tchakravarty

Bagus! Apakah Anda tahu mengapa kami menggunakan sigma-aljabar dan bukan penyaringan?

Jase

1

@Jase, urutan set informasi merupakan penyaringan .

(I_{t})_{t = 0}^{\infty}

$(\mathcal{I}_t)_{t=0}^\infty$

tchakravarty

16

Sunting: Saya menyadari bahwa jawabannya kurang dan dengan demikian memberikan jawaban yang lebih tepat (lihat di bawah - atau mungkin di atas). Saya telah mengedit yang ini untuk kesalahan faktual dan meninggalkannya sebagai catatan.

Parameter fokus berbeda:

ARMA adalah model untuk realisasi proses stokastik yang memaksakan struktur spesifik dari rata - rata kondisional dari proses tersebut.
GARCH adalah model untuk realisasi proses stokastik yang memaksakan struktur spesifik dari varian kondisional dari proses tersebut.

~~Model stokastik versus deterministik:~~

ARMA adalah model stokastik dalam arti bahwa variabel dependen - realisasi proses stokastik - ditetapkan sebagai jumlah dari fungsi deterministik variabel dependen tertinggal dan kesalahan model tertinggal (mean kondisional) dan istilah kesalahan stokastik.
~~GARCH adalah model deterministik dalam arti bahwa variabel dependen - varians kondisional dari proses - adalah fungsi deterministik murni dari variabel lagged.~~

Richard Hardy
sumber

1

Varians bersyarat dari proses GARCH adalah deterministik dalam pengertian Anda, tetapi proses GARCH tidak, karena , dan tidak tergantung pada lag .

r_{t} = σ_{t} ε_{t}

$r_t=\sigma_t\varepsilon_t$

ε_{t}

$\varepsilon_t$

t

$t$

mpiktas

1

@mpiktas, Benar. Jika model GARCH berisi dua persamaan, satu untuk kondisional berarti (contoh yang Anda tulis di atas) dan yang lain untuk varians bersyarat (yang secara intuitif, meskipun tidak secara matematis, "persamaan utama" dari model), argumen saya hanya berlaku ke persamaan terakhir.

Richard Hardy

10

ARMA

Pertimbangkan yang mengikuti proses ARMA ( ). Misalkan untuk kesederhanaan ia memiliki nol mean dan varian konstan. Secara kondisional pada informasi , dapat dipartisi menjadi bagian (yang telah ditentukan) (yang merupakan rata-rata bersyarat dari diberikan ) dan bagian acak : $y_t$ $p,q$ $I_{t-1}$ $y_t$ $\mu_t$ $y_t$ $I_{t-1}$ $u_t$

\begin{aligned} y_{t} & = μ_{t} + u_{t}; \\ μ_{t} & = φ_{1} y_{t - 1} + \dots + φ_{p} y_{t - p} + θ_{1} u_{t - 1} + \dots + θ_{q} u_{t - q} (known, predetermined); \\ u_{t} | I_{t - 1} & \sim D (0, σ^{2}) (random) \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &= \mu_t + u_t; \\ \mu_t &= \varphi_1 y_{t-1} + \dotsc + \varphi_p y_{t-p} + \theta_1 u_{t-1} + \dotsc + \theta_q u_{t-q} \ \ \text{(known, predetermined)}; \\ u_t | I_{t-1} &~\sim D(0,\sigma^2) \ \ \text{(random)} \\ \end{aligned}$

di mana adalah kepadatan. $D$

The bersyarat berarti sendiri mengikuti proses yang sama dengan ARMA ( ) tapi tanpa acak kontemporer istilah error: mana ; untuk ; dan untuk . Perhatikan bahwa proses ini memiliki urutan ( ) daripada ( ) seperti halnya . $\mu_t$ $p,q$

μ_{t} = φ_{1} μ_{t - 1} + \dots + φ_{p} μ_{t - p} + (φ_{1} + θ_{1}) u_{t - 1} + \dots + (φ_{m} + θ_{m}) u_{t - m},

$\mu_t = \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m},$

m := max (p, q)

$m:=\max(p,q)$

φ_{i} = 0

$\varphi_i=0$

i > p

$i>p$

θ_{j} = 0

$\theta_j=0$

j > q

$j>q$

p, m

$p,m$

p, q

$p,q$

y_{t}

$y_t$

Kita juga dapat menulis distribusi kondisional dalam hal sarana kondisional sebelumnya (daripada nilai realisasi sebelumnya) dan parameter model sebagai $y_t$

\begin{aligned} y_{t} & \sim D (μ_{t}, σ_{t}^{2}); \\ μ_{t} & = φ_{1} μ_{t - 1} + \dots + φ_{p} μ_{t - p} + (φ_{1} + θ_{1}) u_{t - 1} + \dots + (φ_{m} + θ_{m}) u_{t - m}; \\ σ_{t}^{2} & = σ^{2}, \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m}; \\ \sigma_t^2 &= \sigma^2, \end{aligned}$

Representasi yang terakhir membuat perbandingan ARMA ke GARCH dan ARMA-GARCH lebih mudah.

GARCH

Pertimbangkan yang mengikuti proses GARCH ( ). Misalkan untuk kesederhanaan itu memiliki mean konstan. Kemudian $y_t$ $s,r$

\begin{aligned} y_{t} & \sim D (μ_{t}, σ_{t}^{2}); \\ μ_{t} & = μ; \\ σ_{t}^{2} & = ω + α_{1} u_{t - 1}^{2} + \dots + α_{s} u_{t - s}^{2} + β_{1} σ_{t - 1}^{2} + \dots + β_{r} σ_{t - r}^{2}; \\ \frac{u_{t}}{σ_{t}} & \sim i . i . D (0, 1), \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \mu; \\ \sigma_t^2 &= \omega + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \dotsc + \alpha_s u_{t-s}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \dotsc + \beta_r \sigma_{t-r}^2; \\ \frac{u_t}{\sigma_t} &\sim i.i.D(0,1), \\ \end{aligned}$

di mana dan adalah kepadatan. $u_t:=y_t-\mu_t$ $D$

The bersyarat varians mengikuti proses yang sama dengan ARMA ( ) tapi tanpa istilah kesalahan acak kontemporer. $\sigma_t^2$ $s,r$

ARMA-GARCH

Pertimbangkan yang memiliki mean nol tanpa syarat dan mengikuti proses ARMA ( ) -GARCH ( ). Kemudian $y_t$ $p,q$ $s,r$

\begin{aligned} y_{t} & \sim D (μ_{t}, σ_{t}^{2}); \\ μ_{t} & = φ_{1} μ_{t - 1} + \dots + φ_{p} μ_{t - p} + (φ_{1} + θ_{1}) u_{t - 1} + \dots + (φ_{m} + θ_{m}) u_{t - m}; \\ σ_{t}^{2} & = ω + α_{1} u_{t - 1}^{2} + \dots + α_{s} u_{t - s}^{2} + β_{1} σ_{t - 1}^{2} + \dots + β_{r} σ_{t - r}^{2}; \\ \frac{u_{t}}{σ_{t}} & \sim i . i . D (0, 1), \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m}; \\ \sigma_t^2 &= \omega + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \dotsc + \alpha_s u_{t-s}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \dotsc + \beta_r \sigma_{t-r}^2; \\ \frac{u_t}{\sigma_t} &\sim i.i.D(0,1), \\ \end{aligned}$

dimana ; adalah beberapa kerapatan, misalnya Normal; untuk ; dan untuk . $u_t:=y_t-\mu_t$ $D$ $\varphi_i=0$ $i>p$ $\theta_j=0$ $j>q$

Proses rata-rata bersyarat karena ARMA pada dasarnya memiliki bentuk yang sama dengan proses varians bersyarat karena GARCH, hanya pesanan lag mungkin berbeda (memungkinkan untuk rata-rata tanpa syarat dari tidak boleh mengubah hasil ini secara signifikan). Yang penting, tidak ada istilah kesalahan acak yang pernah dikondisikan pada , sehingga keduanya telah ditentukan sebelumnya. $y_t$ $I_{t-1}$

Richard Hardy
sumber

3

Proses ARMA dan GARCH sangat mirip dalam presentasi mereka. Garis pemisah antara keduanya sangat tipis karena kami mendapatkan GARCH ketika proses ARMA diasumsikan untuk varian kesalahan.

pengguna36853
sumber

Apa perbedaan antara GARCH dan ARMA?

Jawaban:

ARMA

GARCH

ARMA-GARCH