Densitas Y = log (X) untuk X yang didistribusikan Gamma

12

Pertanyaan ini terkait erat dengan pos ini

Misalkan saya memiliki variabel acak , dan saya mendefinisikan . Saya ingin menemukan fungsi kepadatan probabilitas .XGamma(k,θ)Y=log(X)Y

Saya awalnya berpikir saya hanya akan mendefinisikan fungsi distribusi kumulatif X, melakukan perubahan variabel, dan mengambil "bagian dalam" dari integral sebagai kepadatan saya, seperti itu,

P(Xc)=0c1θk1Γ(k)xk1exθdxP(Ylogc)=log(0)log(c)1θk1Γ(k)exp(y)k1eexp(y)θexp(y)dy

Di sini saya menggunakan dan , kemudian sub dalam definisi untuk dan dalam hal .y=logxdy=1xdxxdxy

Outputnya, sayangnya, tidak berintegrasi ke 1. Saya tidak yakin di mana kesalahan saya. Bisakah beberapa orang memberi tahu saya di mana letak kesalahan saya?

duckworthd
sumber
1
Jika Anda bekerja melalui cdf, Anda tidak boleh mengubah integrand dari integral pertama ke integral kedua. Kesalahan Anda adalah mencoba menggunakan pendekatan cdf dan Jacobian secara bersamaan.
Xi'an

Jawaban:

13

Tulis kepadatan dengan indikator untuk memiliki gambaran yang jelas.

Jika , maka XGamma(k,θ)

fX(x)=1θkΓ(k)xk1ex/θI(0,)(x).

Jika , dengan kebalikan , maka dan CDF diperoleh dari definisi Y=g(X)=logXX=h(Y)=eY

fY(y)=fX(h(y))|h(y)|=1θkΓ(k)exp(kyey/θ)I(,)(y),
P(Yy)=yfY(y)dy.
Zen
sumber
2
Ini adalah jawaban yang bagus, tetapi mungkin Anda harus membuat parameter distribusi Gamma dengan cara yang sama seperti pertanyaan awal.
Diasumsikan normal
Poin bagus, Max. Selesai
Zen
Aduh, definisi saya sendiri punya bug. Seharusnya . α=k
duckworthd