Misalkan memiliki pdf
Karenanya kepadatan sampel diambil dari populasi ini
Estimasi kemungkinan maksimum dapat diturunkan sebagai
Saya ingin tahu apakah distribusi terbatas MLE ini normal atau tidak.
Jelas bahwa statistik yang cukup untuk berdasarkan sampel adalah .
Sekarang saya akan mengatakan bahwa MLE normal asimptotik tanpa keraguan apakah itu adalah anggota dari keluarga eksponensial satu-parameter biasa. Saya tidak berpikir itu yang terjadi, sebagian karena kami memiliki statistik dua dimensi yang cukup untuk parameter satu dimensi (seperti dalam distribusi , misalnya).
Menggunakan fakta bahwa dan sebenarnya variabel eksponensial independen, saya dapat menunjukkan bahwa distribusi yang tepat dari θ adalah sedemikian rupa sehingga
Saya tidak mungkin melanjutkan untuk menemukan distribusi terbatas dari sini.
Sebaliknya saya bisa berdebat dengan WLLN bahwa dan , sehingga θ .
Ini memberitahu saya bahwa θ konvergen dalam distribusi ke θ . Tapi ini tidak datang sebagai kejutan, karena θ adalah 'baik' estimator θ . Dan hasil ini tidak cukup kuat untuk menyimpulkan apakah sesuatu seperti √adalah asimtotik normal atau tidak. Saya tidak bisa membuat argumen yang masuk akal menggunakan CLT juga.
Jadi pertanyaannya adalah apakah distribusi induk di sini memenuhi kondisi keteraturan agar distribusi MLE terbatas menjadi normal.
Jawaban:
Bukti langsung untuk normalitas asimptotik:
Kemungkinan log di sini adalah
Derivatif pertama dan kedua adalah
Tetapi dalam kasus parameter tunggal kami, kebalikannya hanya kebalikannya, jadi, memasukkan juga ekspresi spesifik turunannya,
Varian dari jumlah tersebut adalah
Karena konsistensi estimator, kami juga punya
dan oleh Slutsky's Teorem kita sampai
sumber