Berapa nilai yang diharapkan dari logaritma distribusi Gamma?

14

Jika nilai yang diharapkan dari adalah , berapakah nilai yang diharapkan dari ? Bisakah itu dihitung secara analitik?Gamma(α,β)αβlog(Gamma(α,β))

Parameter yang saya gunakan adalah bentuk-tingkat.

Stefano Vespucci
sumber
4
Jika , maka menurut mathStatica / Mathematica, + PolyGamma [a], di mana PolyGamma menunjukkan fungsi digammaE [ log ( X ) ] = log ( b )XGamma(a,b)E[log(X)]=log(b)
serigala
1
Saya harus menambahkan bahwa Anda tidak memberikan bentuk pdf dari variabel Gamma Anda, dan karena Anda melaporkan bahwa rata-rata adalah (sedangkan bagi saya itu akan , tampaknya Anda menggunakan notasi yang berbeda dari saya, di mana youra b β = 1 / bα/βabβ=1/b
wolfies
Benar, maaf. Parameter yang saya gunakan adalah bentuk-tingkat. Saya akan mencoba menemukannya untuk parametrisation ini . Bisakah Anda menyarankan pertanyaan untuk Mathematica / WolframAlpha? βαΓ(α)xα1eβx
Stefano Vespucci
1
Lihat juga Johnson, Lotz dan Balakrishna (1994) distribusi univariat terus menerus Vol 1 2nd Ed. hlm. 337-349.
Björn
3
Juga lihat Wikipedia: Distribusi Gamma # Harapan dan varian logaritmik
Glen_b -Reinstate Monica

Jawaban:

16

Yang ini (mungkin mengejutkan) dapat dilakukan dengan operasi elementer mudah (menggunakan trik favorit Richard Feynman untuk membedakan di bawah tanda integral sehubungan dengan parameter).


Kami mengandaikan memiliki distribusi dan kami ingin menemukan harapan Pertama, karena adalah parameter skala, efeknya akan menggeser logaritma dengan (Jika Anda menggunakan sebagai parameter laju , seperti dalam pertanyaan, ini akan menggeser logaritma dengan ) Ini memungkinkan kami untuk bekerja dengan caseXΓ(α,β)Y=log(X).βlog β . β - log β . β = 1.logβ.βlogβ.β=1.

Setelah penyederhanaan ini, elemen probabilitas adalahX

fX(x)=1Γ(α)xαexdxx

di mana adalah konstanta normalisasiΓ(α)

Γ(α)=0xαexdxx.

Mengganti yang mensyaratkan memberikan elemen probabilitas ,x=ey,dx/x=dy,Y

fY(y)=1Γ(α)eαyeydy.

Nilai yang mungkin dari sekarang berkisar pada semua bilangan realYR.

Karena harus berintegrasi ke persatuan, kami memperoleh (sepele)fY

(1)Γ(α)=Reαyeydy.

Perhatikan adalah fungsi terdiferensiasi dariPerhitungan yang mudah memberifY(y)α.

ddαeαyeydy=yeαyeydy=Γ(α)yfY(y).

Langkah selanjutnya mengeksploitasi relasi yang diperoleh dengan membagi kedua sisi identitas ini dengan dengan demikian mengekspos objek yang perlu kita integrasikan untuk menemukan harapan; yaitu,Γ(α),yfY(y):

E(Y)=RyfY(y)=1Γ(α)Rddαeαyeydy=1Γ(α)ddαReαyeydy=1Γ(α)ddαΓ(α)=ddαlogΓ(α)=ψ(α),

turunan logaritmik dari fungsi gamma (alias " poligamma "). Integral dihitung menggunakan identitas(1).

Memperkenalkan kembali faktor menunjukkan hasil umumβ

E(log(X))=logβ+ψ(α)

untuk parameterisasi skala (di mana fungsi kerapatan bergantung pada ) ataux/β

E(log(X))=logβ+ψ(α)

untuk parameterisasi laju (di mana fungsi kerapatan bergantung pada ).xβ

whuber
sumber
Dengan fungsi polygamma maksud Anda urutan mana (misalnya, 0,1) menjadi digamma (Seperti yang ditunjukkan oleh @ serigala), trigamma?
Stefano Vespucci
1
@Stano saya maksud turunan logaritmik dari gamma, seperti yang dinyatakan. Itu berartiψ(z)=Γ(z)/Γ(z).
whuber
14

Jawaban oleh @whuber cukup bagus; Saya pada dasarnya akan menyatakan kembali jawabannya dalam bentuk yang lebih umum yang menghubungkan (menurut pendapat saya) lebih baik dengan teori statistik, dan yang memperjelas kekuatan teknik keseluruhan.

Pertimbangkan sekumpulan distribusi yang merupakan keluarga eksponensial , yang berarti mereka menerima kepadatan sehubungan dengan beberapa ukuran yang mendominasi umum (biasanya, Lebesgue atau ukuran penghitungan). Membedakan kedua sisi sehubungan dengan kita sampai pada persamaan skor mana adalah fungsi skor{Fθ:θΘ}

fθ(x)=exp{s(x)θA(θ)+h(x)}

fθ(x) dx=1
θ
()fθ(x)=fθ(x)fθ(x)fθ(x)=uθ(x)fθ(x) dx=0
uθ(x)=ddθlogfθ(x)dan kami telah mendefinisikanfθ(x)=ddθfθ(x)
uθ(x)=s(x)A(θ)
A(θ)=ddθA(θ)()Eθ[s(X)]=A(θ)

Kami sekarang menunjukkan ini membantu kami menghitung harapan yang diperlukan. Kita dapat menulis kepadatan gamma dengan tetap sebagai keluarga eksponensial Ini adalah keluarga eksponensial dalam sendiri dengan dan . Sekarang mengikuti segera dengan menghitung yang β

fθ(x)=βαΓ(α)xα1eβx=exp{log(x)α+αlogβlogΓ(α)βx}.
αs(x)=logxA(α)=logΓ(α)αlogβddαA(α)
E[logX]=ψ(α)logβ.

orang
sumber
2
+1 Terima kasih telah menunjukkan generalisasi yang bagus ini.
Whuber