Jika nilai yang diharapkan dari adalah , berapakah nilai yang diharapkan dari ? Bisakah itu dihitung secara analitik?
Parameter yang saya gunakan adalah bentuk-tingkat.
expected-value
gamma-distribution
Stefano Vespucci
sumber
sumber
Jawaban:
Yang ini (mungkin mengejutkan) dapat dilakukan dengan operasi elementer mudah (menggunakan trik favorit Richard Feynman untuk membedakan di bawah tanda integral sehubungan dengan parameter).
Kami mengandaikan memiliki distribusi dan kami ingin menemukan harapan Pertama, karena adalah parameter skala, efeknya akan menggeser logaritma dengan (Jika Anda menggunakan sebagai parameter laju , seperti dalam pertanyaan, ini akan menggeser logaritma dengan ) Ini memungkinkan kami untuk bekerja dengan caseX Γ(α,β) Y=log(X). β log β . β - log β . β = 1.logβ. β −logβ. β=1.
Setelah penyederhanaan ini, elemen probabilitas adalahX
di mana adalah konstanta normalisasiΓ(α)
Mengganti yang mensyaratkan memberikan elemen probabilitas ,x=ey, dx/x=dy, Y
Nilai yang mungkin dari sekarang berkisar pada semua bilangan realY R.
Karena harus berintegrasi ke persatuan, kami memperoleh (sepele)fY
Perhatikan adalah fungsi terdiferensiasi dariPerhitungan yang mudah memberifY(y) α.
Langkah selanjutnya mengeksploitasi relasi yang diperoleh dengan membagi kedua sisi identitas ini dengan dengan demikian mengekspos objek yang perlu kita integrasikan untuk menemukan harapan; yaitu,Γ(α), yfY(y):
turunan logaritmik dari fungsi gamma (alias " poligamma "). Integral dihitung menggunakan identitas(1).
Memperkenalkan kembali faktor menunjukkan hasil umumβ
untuk parameterisasi skala (di mana fungsi kerapatan bergantung pada ) ataux/β
untuk parameterisasi laju (di mana fungsi kerapatan bergantung pada ).xβ
sumber
Jawaban oleh @whuber cukup bagus; Saya pada dasarnya akan menyatakan kembali jawabannya dalam bentuk yang lebih umum yang menghubungkan (menurut pendapat saya) lebih baik dengan teori statistik, dan yang memperjelas kekuatan teknik keseluruhan.
Pertimbangkan sekumpulan distribusi yang merupakan keluarga eksponensial , yang berarti mereka menerima kepadatan sehubungan dengan beberapa ukuran yang mendominasi umum (biasanya, Lebesgue atau ukuran penghitungan). Membedakan kedua sisi sehubungan dengan kita sampai pada persamaan skor mana adalah fungsi skor{Fθ:θ∈Θ} fθ(x)=exp{s(x)θ−A(θ)+h(x)}
∫fθ(x) dx=1 θ
∫f′θ(x)=∫f′θ(x)fθ(x)fθ(x)=∫uθ(x)fθ(x) dx=0(†) uθ(x)=ddθlogfθ(x) dan kami telah mendefinisikanf′θ(x)=ddθfθ(x) uθ(x)=s(x)−A′(θ) A′(θ)=ddθA(θ) (†) Eθ[s(X)]=A′(θ)
Kami sekarang menunjukkan ini membantu kami menghitung harapan yang diperlukan. Kita dapat menulis kepadatan gamma dengan tetap sebagai keluarga eksponensial Ini adalah keluarga eksponensial dalam sendiri dengan dan . Sekarang mengikuti segera dengan menghitung yangβ fθ(x)=βαΓ(α)xα−1e−βx=exp{log(x)α+αlogβ−logΓ(α)−βx}. α s(x)=logx A(α)=logΓ(α)−αlogβ ddαA(α) E[logX]=ψ(α)−logβ.
sumber