Konstruksi distribusi Dirichlet dengan distribusi Gamma

Jacobian - penentu absolut dari perubahan fungsi variabel - tampak tangguh dan bisa rumit. Namun demikian, mereka adalah bagian penting dan tidak dapat dihindari dari perhitungan perubahan variabel multivariat. Tampaknya tidak ada apa-apa selain menuliskan $k+1$ dengan $k+1$ matriks turunan dan melakukan perhitungan.

Ada cara yang lebih baik. Itu ditampilkan di bagian akhir "Solusi". Karena tujuan dari posting ini adalah untuk memperkenalkan para ahli statistik tentang apa yang mungkin menjadi metode baru bagi banyak orang, banyak di antaranya dikhususkan untuk menjelaskan mesin di balik solusi. Ini adalah aljabar bentuk-bentuk diferensial . (Bentuk diferensial adalah hal-hal yang diintegrasikan seseorang dalam berbagai dimensi.) Contoh yang terperinci dan dikerjakan disertakan untuk membantu menjadikan ini lebih akrab.

Latar Belakang

Lebih dari seabad yang lalu, matematikawan mengembangkan teori aljabar diferensial untuk bekerja dengan "turunan orde tinggi" yang terjadi dalam geometri multi-dimensi. Penentu adalah kasus khusus dari objek dasar yang dimanipulasi oleh aljabar semacam itu, yang biasanya merupakan bentuk multinearer bergantian . Keindahan ini terletak pada betapa sederhananya perhitungan itu.

Inilah yang perlu Anda ketahui.

Sebuah diferensial adalah ekspresi dari bentuk " $dx_i$ ". Ini adalah gabungan dari " $d$ " dengan nama variabel apa pun.
Satu -bentuk adalah kombinasi linear dari diferensial, seperti atau bahkan . Artinya, koefisien adalah fungsi dari variabel. $dx_1+dx_2$ $x_2 dx_1 - \exp(x_2) dx_2$
Formulir dapat "dikalikan" menggunakan produk wedge , tertulis . Produk ini adalah anti-komutatif (juga disebut bolak ): untuk setiap dua satu-bentuk dan , $\wedge$ $\omega$ $\eta$

$ω \land η = - η \land ω .$ $\omega \wedge \eta = -\eta \wedge \omega.$
Perkalian ini linier dan asosiatif: dengan kata lain, ini bekerja dengan cara yang akrab. Konsekuensi langsungnya adalah bahwa , menyiratkan kuadrat dari setiap-bentuk selalu nol. Itu membuat perkalian menjadi sangat mudah! $\omega \wedge \omega = -\omega \wedge \omega$
Untuk keperluan memanipulasi integrand yang muncul dalam perhitungan probabilitas, ekspresi seperti dapat dipahami sebagai . $dx_1 dx_2 \cdots dx_{k+1}$ $|dx_1\wedge dx_2 \wedge \cdots \wedge dx_{k+1}|$
Ketika adalah suatu fungsi, maka diferensialnya diberikan oleh diferensiasi: $y = g(x_1, \ldots, x_n)$

$d y = d g (x_{1}, \dots, x_{n}) = \frac{\partial g}{\partial x_{1}} (x_{1}, \dots, x_{n}) d x_{1} + \dots + \frac{\partial g}{\partial x_{1}} (x_{1}, \dots, x_{n}) d x_{n} .$ $dy = dg(x_1, \ldots, x_n) = \frac{\partial g}{\partial x_1}(x_1, \ldots, x_n) dx_1 + \cdots + \frac{\partial g}{\partial x_1}(x_1, \ldots, x_n) dx_n.$

Koneksi dengan Jacobian adalah ini: Jacobian dari transformasi , hingga tanda, hanya koefisien $(y_1, \ldots, y_n) = F(x_1, \ldots, x_n) = (f_1(x_1, \ldots, x_n), \ldots, f_n(x_1, \ldots, x_n))$ yang muncul dalam komputasi $dx_1\wedge \dots \wedge dx_n$

d y_{1} \land \dots \land d y_{n} = d f_{1} (x_{1}, \dots, x_{n}) \land \dots \land d f_{n} (x_{1}, \dots, x_{n})

$dy_1 \wedge \cdots \wedge dy_n = df_1(x_1,\ldots, x_n)\wedge \cdots \wedge df_n(x_1, \ldots, x_n)$

setelah berkembang masing-masing sebagai kombinasi linear dari dalam aturan (5). $df_i$ $dx_j$

Contoh

Kesederhanaan definisi Jacobian ini sangat menarik. Belum yakin itu bermanfaat? Pertimbangkan masalah yang terkenal dari konversi integral dua dimensi dari koordinat Cartesian ke koordinat polar , di mana . Berikut ini adalah aplikasi yang sepenuhnya mekanis dari aturan sebelumnya, di mana " $(x, y)$ $(r,\theta)$ $(x,y) = (r\cos(\theta), r\sin(\theta))$ $(*)$ "digunakan untuk menyingkat ekspresi yang jelas akan menghilang berdasarkan aturan (3), yang menyiratkan . $dr\wedge dr = d\theta\wedge d\theta = 0$

\begin{aligned} d x d y & = | d x \land d y | = | d (r \cos (θ)) \land d (r \sin (θ)) | \\ = | (\cos (θ) d r - r \sin (θ) d θ) \land (\sin (θ) d r + r \cos (θ) d θ | \\ = | (*) d r \land d r + (*) d θ \land d θ - r \sin (θ) d θ \land \sin (θ) d r + \cos (θ) d r \land r \cos (θ) d θ | \\ = | 0 + 0 + r \sin^{2} (θ) d r \land d θ + r \cos^{2} (θ) d r \land d θ | \\ = | r (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) d r \land d θ) | \\ = r d r d θ \end{aligned} .

$\eqalign{ dx dy &= |dx\wedge dy| = |d(r\cos(\theta)) \wedge d(r\sin(\theta))| \\ &= |(\cos(\theta)dr - r\sin(\theta)d\theta) \wedge (\sin(\theta)dr + r\cos(\theta)d\theta| \\ &= |(*)dr\wedge dr + (*) d\theta\wedge d\theta - r\sin(\theta)d\theta\wedge \sin(\theta)dr + \cos(\theta)dr \wedge r\cos(\theta) d\theta| \\ &= |0 + 0 + r\sin^2(\theta) dr\wedge d\theta + r\cos^2(\theta) dr\wedge d\theta| \\ &= |r(\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta)) dr\wedge d\theta)| \\ &= r\ dr d\theta }.$

Poinnya adalah kemudahan untuk melakukan perhitungan seperti itu, tanpa mengacaukan matriks, determinan, atau objek multi-indikatif lainnya. Anda hanya memperbanyak hal, mengingat wedges adalah anti-komutatif. Lebih mudah dari apa yang diajarkan dalam aljabar sekolah menengah.

Persiapan

Mari kita lihat aljabar diferensial ini dalam aksi. Dalam masalah ini, PDF dari distribusi gabungan adalah produk dari masing-masing PDF (karena dianggap independen). Untuk menangani perubahan pada variabel kita harus eksplisit tentang elemen diferensial yang akan diintegrasikan. Ini membentuk istilah $(X_1, X_2, \ldots, X_{k+1})$ $X_i$ $Y_i$ $dx_1 dx_2 \cdots dx_{k+1}$ . Including the PDF gives the probability element

\begin{aligned} f_{X} (x, α) d x_{1} \dots d x_{k + 1} & \propto (x_{1}^{α_{1} - 1} \exp (- x_{1})) \dots (x_{k + 1}^{α_{k + 1} - 1} \exp (- x_{k + 1})) d x_{1} \dots d x_{k + 1} \\ = x_{1}^{α_{1} - 1} \dots x_{k + 1}^{α_{k + 1} - 1} \exp (- (x_{1} + \dots + x_{k + 1})) d x_{1} \dots d x_{k + 1} . \end{aligned}

$\eqalign{ f_\mathbf{X}(\mathbf{x},\mathbf{\alpha})dx_1 \cdots dx_{k+1} &\propto \left(x_1^{\alpha_1-1}\exp\left(-x_1\right)\right)\cdots \left(x_{k+1}^{\alpha_{k+1}-1}\exp\left(-x_{k+1}\right) \right)dx_1 \cdots dx_{k+1} \\ &= x_1^{\alpha_1-1}\cdots x_{k+1}^{\alpha_{k+1}-1}\exp\left(-\left(x_1+\cdots+x_{k+1}\right)\right)dx_1 \cdots dx_{k+1}. }$

(The normalizing constant has been ignored; it will be recovered at the end.)

Staring at the definitions of the $Y_i$ a few seconds ought to reveal the utility of introducing the new variable

Z = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{k + 1},

$Z = X_1 + X_2 + \cdots + X_{k+1},$

giving the relationships

X_{i} = Y_{i} Z .

$X_i = Y_i Z.$

This suggests making the change of variables $x_i \to y_i z$ in the probability element. The intention is to retain the first $k$ variables $y_1, \ldots, y_k$ along with $z$ and then integrate out $z$ . To do so, we have to re-express all the $dx_i$ in terms of the new variables. This is the heart of the problem. It's where the differential algebra takes place. To begin with,

d x_{i} = d (y_{i} z) = y_{i} d z + z d y_{i} .

$dx_i = d(y_i z) = y_i dz + z dy_i.$

Note that since $Y_1+Y_2+\cdots+Y_{k+1}=1$ , then

0 = d (1) = d (y_{1} + y_{2} + \dots + y_{k + 1}) = d y_{1} + d y_{2} + \dots + d y_{k + 1} .

$0 = d(1) = d(y_1 + y_2 + \cdots + y_{k+1}) = dy_1 + dy_2 + \cdots + dy_{k+1}.$

Consider the one-form

ω = d x_{1} + \dots + d x_{k} = z (d y_{1} + \dots + d y_{k}) + (y_{1} + \dots + y_{k}) d z .

$\omega = dx_1 + \cdots + dx_k = z(dy_1 + \cdots + dy_k) + (y_1+\cdots + y_k) dz.$

It appears in the differential of the last variable:

\begin{aligned} d x_{k + 1} & = z d y_{k + 1} + y_{k + 1} d z \\ = - z (d y_{1} + \dots + d y_{k}) + (1 - y_{1} - \dots y_{k}) d z \\ = d z - ω . \end{aligned}

$\eqalign{ dx_{k+1} &= z dy_{k+1} + y_{k+1}dz \\ &= -z(dy_1 + \cdots + dy_k) + (1-y_1-\cdots y_k)dz \\ &= dz - \omega. }$

The value of this lies in the observation that

d x_{1} \land \dots \land d x_{k} \land ω = 0

$dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_k \wedge \omega = 0$

because, when you expand this product, there is one term containing $dx_1 \wedge dx_1 = 0$ as a factor, another containing $dx_2 \wedge dx_2 = 0$ , and so on: they all disappear. Consequently,

\begin{aligned} d x_{1} \land \dots \land d x_{k} \land d x_{k + 1} & = d x_{1} \land \dots \land d x_{k} \land z - d x_{1} \land \dots \land d x_{k} \land ω \\ = d x_{1} \land \dots \land d x_{k} \land z . \end{aligned}

$\eqalign{ dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_k \wedge dx_{k+1} &= dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_k \wedge z - dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_k \wedge \omega \\ &= dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_k \wedge z. }$

Whence (because all products $dz\wedge dz$ disappear),

\begin{aligned} d x_{1} \land \dots \land d x_{k + 1} & = (z d y_{1} + y_{1} d z) \land \dots \land (z d y_{k} + y_{k} d z) \land d z \\ = z^{k} d y_{1} \land \dots \land d y_{k} \land d z . \end{aligned}

$\eqalign{ dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_{k+1} &= (z dy_1 + y_1 dz) \wedge \cdots \wedge (z dy_k + y_k dz) \wedge dz \\ &= z^k dy_1 \wedge \cdots \wedge dy_k \wedge dz. }$

The Jacobian is simply $|z^k| = z^k$ , the coefficient of the differential product on the right hand side.

Solution

The transformation $(x_1, \ldots, x_k, x_{k+1})\to (y_1, \ldots, y_k, z)$ is one-to-one: its inverse is given by $x_i = y_i z$ for $1\le i\le k$ and $x_{k+1} = z(1-y_1-\cdots-y_k)$ . Therefore we don't have to fuss any more about the new probability element; it simply is

\begin{aligned} (z y_{1})^{α_{1} - 1} \dots (z y_{k})^{α_{k} - 1} {(z (1 - y_{1} - \dots - y_{k}))}^{α_{k + 1} - 1} \exp (- z) | z^{k} d y_{1} \land \dots \land d y_{k} \land d z | \\ = (z^{α_{1} + \dots + α_{k + 1} - 1} \exp (- z) d z) (y_{1}^{α_{1} - 1} \dots y_{k}^{α_{k} - 1} {(1 - y_{1} - \dots - y_{k})}^{α_{k + 1} - 1} d y_{1} \dots d y_{k}) . \end{aligned}

$\eqalign{ &(z y_1)^{\alpha_1-1}\cdots (z y_k)^{\alpha_k-1}\left(z(1-y_1-\cdots-y_k)\right)^{\alpha_{k+1}-1}\exp\left(-z\right)|z^k dy_1 \wedge \cdots \wedge dy_k \wedge dz| \\ &= \left(z^{\alpha_1+\cdots+\alpha_{k+1}-1}\exp\left(-z\right) dz\right)\left( y_1^{\alpha_1-1} \cdots y_k^{\alpha_k-1}\left(1-y_1-\cdots-y_k\right)^{\alpha_{k+1}-1}dy_1 \cdots dy_k\right). }$

That is manifestly a product of a Gamma $(\alpha_1+\cdots+\alpha_{k+1})$ distribution (for $Z$ ) and a Dirichlet $(\mathbf\alpha)$ distribution (for $(Y_1,\ldots, Y_k)$ ). In fact, since the original normalizing constant must have been a product of $\Gamma(\alpha_i)$ , we deduce immediately that the new normalizing constant must be divided by $\Gamma(\alpha_1+\cdots+\alpha_{k+1})$ , enabling the PDF to be written

f_{Y} (y, α) = \frac{Γ (α_{1} + \dots + α_{k + 1})}{Γ (α_{1}) \dots Γ (α_{k + 1})} (y_{1}^{α_{1} - 1} \dots y_{k}^{α_{k} - 1} {(1 - y_{1} - \dots - y_{k})}^{α_{k + 1} - 1}) .

$f_\mathbf{Y}(\mathbf{y},\mathbf{\alpha}) = \frac{\Gamma(\alpha_1+\cdots+\alpha_{k+1})}{\Gamma(\alpha_1)\cdots\Gamma(\alpha_{k+1})}\left( y_1^{\alpha_1-1} \cdots y_k^{\alpha_k-1}\left(1-y_1-\cdots-y_k\right)^{\alpha_{k+1}-1}\right).$

whuber
sumber

Konstruksi distribusi Dirichlet dengan distribusi Gamma

Jawaban:

Latar Belakang

Contoh

Persiapan

Solution