Kemandirian statistik dari distribusi gamma

Misalkan menjadi sampel acak dari distribusi gamma .$X_1,...,X_n$$\mathrm{Gamma}\left(\alpha,\beta\right)$

Biarkan dan menjadi mean sampel dan varians sampel.$\bar{X}$$S^2$

Kemudian buktikan atau bantah bahwa dan independen.$\bar{X}$$S^2/\bar{X}^2$

---

Usaha saya: Karena $S^2/\bar{X}^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left(\frac{X_i}{\bar{X}}-1\right)^2$ , kita perlu memeriksa independensi $\bar{X}$ dan $\left(\frac{X_i}{\bar{X}} \right)_{i=1}^{n}$ , tetapi bagaimana saya harus membangun kemandirian di antara mereka?

Ada demonstrasi yang lucu, sederhana, dan intuitif untuk integral$\alpha.$ Itu hanya bergantung pada properti yang terkenal dari distribusi seragam, distribusi Gamma, proses Poisson, dan variabel acak dan berjalan seperti ini:

1. Setiap adalah waktu tunggu sampai titik dari proses Poisson terjadi.$X_i$$\alpha$

2. Jumlah karena itu adalah waktu tunggu sampai poin dari proses itu terjadi. Sebut poin ini n α Z 1 , Z 2 , … , Z n α$Y = X_1+X_2+\cdots + X_n$$n\alpha$$Z_1, Z_2, \ldots, Z_{n\alpha}.$

3. Bersyarat pada , titik secara independen terdistribusi secara seragam antara dann α - 1 0 Y $Y$$n\alpha-1$$0$$Y.$

4. Oleh karena itu rasio secara independen terdistribusi secara seragam antara dan Khususnya, distribusinya tidak bergantung pada0 $Z_i/Y,\ i=1,2,\ldots, n\alpha-1$$0$$1.$$Y.$

5. Akibatnya, setiap fungsi (terukur) dari tidak bergantung padaY $Z_i/Y$$Y.$

6. Di antara fungsi-fungsi tersebut adalah (di mana kurung menyatakan statistik urutan dari ).[

   $$\eqalign{X_1/Y &= Z_{[\alpha]}/Y\\ X_2/Y &= Z_{[2\alpha]}/Y - Z_{[\alpha]}/Y\\ \ldots\\ X_{n-1}/Y &= Z_{[(n-1)\alpha]}/Y - Z_{[(n-2)\alpha]}/Y\\ X_n/Y &= 1 - Z_{[(n-1)\alpha]}/Y}$$ $[]$$Z_i$

Pada titik ini, cukup perhatikan bahwa dapat ditulis secara eksplisit sebagai fungsi (terukur) dari dan oleh karena itu tidak tergantung padaX i / Y ˉ X = Y / n $S^2/\bar X^2$$X_i/Y$$\bar X = Y/n.$

Anda ingin membuktikan bahwa mean dan rv.s independen, atau setara bahwa jumlah dan rasio adalah independen. Kita dapat membuktikan hasil yang sedikit lebih umum dengan mengasumsikan bahwa memiliki bentuk yang mungkin berbeda , tetapi skala yang sama yang dapat diasumsikan . nXi/ ˉ X U:=∑XinWi:=Xi/UXiαiβ>0$\bar{X}$$n$$X_i/\bar{X}$$U := \sum X_i$$n$$W_i := X_i / U$$X_i$$\alpha_i$$\beta>0$$\beta = 1$

Pertimbangkan transformasi Laplace gabungan dari dan yaitu, Ini dinyatakan sebagai dimensi integral atas mana konstanta relatif terhadap . Jika kita memperkenalkan variabel baru di bawah tanda integral dengan mengatur W = [ W i ] n i = $U$$\mathbf{W}=[W_i]_{i=1}^n$n(0,∞)

$$\psi(t,\,\mathbf{z}) := \text{E}\{\exp[-tU - \mathbf{z}^\top \mathbf{W}\} = \text{E}\left\{ \exp\left[-t \sum_i X_i - \sum_i z_i \,\frac{X_i}{U} \right] \right\}$$ $n$$(0, \infty)^n$
$$%% \psi(t,\,\mathbf{z} = \text{Cst} \, \int \exp \left[- (1 + t)(x_1 + \dots + x_n) - \frac{z_1 x_1 + \dots + z_n x_n}{x_1 + \dots + x_n} \right] \, x_1 ^{\alpha_1 - 1} \dots \, x_n^{\alpha_n - 1} \text{d}\mathbf{x}$$ y : = $\mathbf{x}$ t z U $\mathbf{y} := (1 + t)\, \mathbf{x}$ , kita melihat dengan mudah bahwa integral dapat ditulis sebagai produk dari dua fungsi, satu tergantung yang lain tergantung pada vektor . Ini membuktikan bahwa dan independen.$t$$\mathbf{z}$$U$$\mathbf{W}$

Penafian . Pertanyaan ini berkaitan dengan teorema Lukacs tentang independensi proporsional-jumlah , maka untuk artikel oleh Eugene Lukacs A Karakterisasi Distribusi Gamma . Saya baru saja mengekstrak di sini bagian yang relevan dari artikel ini (yaitu hal. 324), dengan beberapa perubahan dalam notasi. Saya juga mengganti penggunaan fungsi karakteristik dengan transformasi Laplace untuk menghindari perubahan variabel yang melibatkan bilangan kompleks.

Biarkan . Perhatikan bahwa adalah statistik tambahan dari , yaitu distribusinya tidak tergantung pada .$U=\sum_i X_i$$(X_i /U)_i$$\beta$$\beta$

Karena adalah statistik cukup lengkap , itu tidak bergantung pada oleh teorema Basu, jadi kesimpulannya berikut.$U$$\beta$$(X_i /U)_i$

Saya tidak yakin tentang konstruksi statistik tambahan, karena hanya independen dari , bukan .$\beta$$\alpha$