Apa pembenaran menggunakan pendekatan taylor di dalam operator ekspektasi?

8

Saya terkadang melihat orang menggunakan pendekatan taylor sebagai berikut:

E(ex)E(1+x)

Saya tahu bahwa pendekatan taylor bekerja untuk

ex1+x

Tetapi tidak jelas bagi saya bahwa kita dapat melakukan perkiraan di dalam operator ekspektasi. Secara intuitif, saya kira itu bekerja jika "probabilitas jauh lebih besar dari 0 kecil", tapi saya tidak yakin seberapa ketat ini.x

Sunting : Saya bahkan lebih bingung ketika kita memiliki harapan akan suatu fungsi:

E(f(ex))?E(f(1+x))
pengguna56834
sumber
1
@repmat, itu sama sekali tidak benar. linearitas tidak menyiratkan komutatif antara fungsi dan operator ekspektasi
user56834

Jawaban:

6

Untuk contoh spesifik Anda, orde pertama Taylor perkiraan sekitar , jadix0=0,ex=e0+e0x+R1=1+x+R1

E(ex)=E(1+x)+E(R1)

Jadi pertanyaannya adalah "apa yang bisa kita katakan tentang ? Yah, kita tidak tahu sebanyak yang kita inginkan tentang perkiraan Taylor - artinya, tentang perilaku sisanya. E(R1)

Lihat contoh ini mengapa sisanya adalah hal yang berbahaya, tetapi juga, saya sarankan untuk membaca utas yang sangat membangkitkan semangat, Mengambil harapan dari seri Taylor (terutama sisanya) tentang masalah ini.

Hasil yang menarik dalam regresi linier adalah sebagai berikut: anggap kita memiliki model non-linear yang sebenarnya

ysaya=m(xsaya)+esaya

di mana adalah fungsi ekspektasi bersyarat, , dan dengan konstruksi .m(xsaya)E(ysayaxsaya)=m(xsaya)E(esayaxsaya)=0

Pertimbangkan pendekatan Taylor orde pertama khusus di sekitarE(xsaya)

ysaya=β0+xsayaβ+kamusaya,kamusaya=R1saya+esaya

di mana adalah sisa dari perkiraan Taylor, beta adalah turunan parsial dari fungsi non-linear sehubungan dengan dievaluasi pada , sedangkan istilah konstan mengumpulkan semua lainnya memperbaiki hal-hal dari perkiraan (omong-omong, ini adalah alasan mengapa a) kita diberitahu "selalu menyertakan konstanta dalam spesifikasi" tetapi bahwa b) konstanta berada di luar interpretasi yang berarti dalam kebanyakan kasus).R1sayaxsayaE(xsaya)

Kemudian, jika kita menerapkan estimasi Ordinary Least-Squares, kita mendapatkan bahwa Taylor Remainder tidak akan direalisasikan kepada para regressor, , dan juga . Hasil pertama menyiratkan bahwa properti estimator OLS untuk beta tidak dipengaruhi oleh fakta bahwa kami telah memperkirakan fungsi non-linear dengan pendekatan Taylor orde pertama. Hasil kedua menyiratkan bahwa aproksimasi optimal di bawah kriteria yang sama di mana harapan bersyarat adalah prediktor optimal (rata-rata kesalahan kuadrat, di sini berarti sisa kuadrat). E(R1sayaxsaya)=E(R1saya)E(xsaya)E(R1saya2)=min

Kedua premis diperlukan untuk hasil ini, yaitu, bahwa kita mengambil ekspansi Taylor di sekitar nilai yang diharapkan dari para regressor, dan bahwa kita menggunakan OLS.

Alecos Papadopoulos
sumber
2

Satu situasi di mana ini digunakan adalah asimptotik.

Sebagai contoh, misalkan dan adalah fungsi yang lancar. Kemudian mana berarti konvergensi dalam distribusi (juga disebut konvergensi dalam hukum). Akibatnya, kami menghapus istilah tingkat tinggi dalam ekspansi dan memperlakukannya sebagai Satu menulis Xn-μσ/nN(0,1)g

g(Xn)-g(μ)|g(μ)|σ/nL.N(0,1) sebagai n,
L.''
g(x)=g(μ)+g(μ)(x-μ)+g(μ)2(x-μ)2+g(μ)6(x-μ)3+
g(x)g(μ)+g(μ)(x-μ).
g(Xn)SEBUAHN(g(μ),g(μ)2σ2n)
SEBUAHN'' berarti" normal asimptotik. "
Michael Hardy
sumber
1
Saya tidak berpikir ini menjawab pertanyaan. Anda hanya melaporkan contoh di mana perkiraan dibuat, tidak menjelaskan mengapa itu sah.
Federico Poloni