Adalah

Apakah ? Juga, bagaimana dengan Saya bingung dengan relasinya. Tampaknya secara intuitif menjadi masalahnya. Jika benar, bagaimana saya membuktikannya secara matematis. Saya telah mencari di situs ini dan di tempat lain ...$E[E(X|Y)|Z] =E[X|Y,Z]$$E[E(X|Y=y)|Z=z] =E[X|Y=y,Z=z]$

Dua harapan bersyarat berbeda secara umum:

$$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z] \ne\mathbb{E}[X|Y,Z]$$

Sebenarnya, mereka bahkan tidak hidup dalam ruang fungsional yang sama dengan yang pertama adalah fungsi , wrt terukur , aljabar diinduksi oleh , sedangkan yang kedua adalah sebuah fungsi dari , maka wrt dapat diukur , aljabar disebabkan oleh ,$Z$$\sigma(Z)$$\sigma$$Z$$(Y,Z)$$\sigma(Y,Z)$$\sigma$$(Y,Z)$

Sebagai contoh tandingan, pertimbangkan pengaturan kapan

1. $X$ dan bersifat independen$Y$
2. $X$ dan $Z$ tergantung, dengan $\mathbb{E}[X|Z]\ne \mathbb{E}[X]$

Lalu, karena independensi antar $X$ dan $Y$, $\mathbb{E}(X|Y)=\mathbb{E}[X]$ dan oleh karena itu

Sebaliknya, kesetaraan yang valid

Notasi: Perbedaan antara notasi$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]$ dan $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y=y)|Z=z]$ Apakah itu

1. $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]$ adalah variabel acak, transformasi dari variabel acak $Z$ (dan bukan dari variabel acak $Y$ sejak $Y$Y juga dikondisikan $Z$);
2. $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y=y)|Z=z]$ adalah fungsi dari keduanya $y$ dan $z$, Namun pada kenyataannya hanya dari$y$(Seperti yang dijelaskan di bawah) yang tidak memiliki makna yang jelas dari sudut pandang probabilistik . Memang, untuk nilai yang diberikan$y$, $\mathbb{E}(X|Y=y)$ adalah konstanta yang mengambil ekspektasi kondisional tergantung pada realisasinya $Z=z$ tidak masuk akal karena juga kembali $\mathbb{E}(X|Y=y)$. Misalnya, jika$X$ tergantung keduanya $Y$ dan $X$ sebagai variabel acak, untuk realisasi yang diberikan $y$ dari $Y$ dan $Z$ dari $z$, $\mathbb{E}(X|Y=y)$ adalah konstanta yang umumnya berbeda dari $\mathbb{E}(X)$ dan dari $\mathbb{E}(X|Y=y,Z=z)$. Tapi $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y=y)|Z=z]$adalah tidak realisasi dari variabel acak$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]$. The realisasi yang benar adalah$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z=z]$