Untuk variabel acak ( ) Saya merasa secara intuitif bahwa harus sama dengan karena oleh properti tanpa memori distribusi sama dengan distribusi tetapi bergeser ke kanan sebesar .
Namun, saya berjuang untuk menggunakan properti tanpa memori untuk memberikan bukti nyata. Bantuan apa pun sangat kami hargai.
Terima kasih.
Jawaban:
Mari menunjukkan fungsi kepadatan probabilitas (pdf) dari . Kemudian, formulasi matematis untuk apa yang Anda nyatakan dengan benar yaitu, pdf bersyarat dari mengingat sama dengan tetapi bergeser ke kanan dengan adalah . Karenanya, , nilai yang diharapkan dari mengingat bahwa adalahfX(t) X − X {X>x} X x − fX∣X>x(t)=fX(t−x) E[X∣X>x] X {X>x} E[X∣X>x]=∫∞−∞tfX∣X>x(t)dt=∫∞−∞tfX(t−x)dt=∫∞−∞(x+u)fX(u)du=x+E[X].on substituting u=t−x
Perhatikan bahwa kami belum menggunakan kepadatan secara eksplisit dalam perhitungan, dan bahkan tidak perlu berintegrasi secara eksplisit jika kami hanya mengingat bahwa (i) area di bawah pdf adalah dan (ii) definisi dari nilai yang diharapkan dari variabel acak kontinu dalam hal pdf-nya.X 1
sumber
Untuk , acara memiliki probabilitas . Karenanya, tetapi (menggunakan trik Feynman, dibuktikan oleh Teorema Konvergensi Terdominasi, karena menyenangkan)x>0 {X>x} P{X>x}=1−FX(x)=e−λx>0
sumber