Ekspektasi bersyarat dari variabel acak eksponensial

13

Untuk variabel acak ( ) Saya merasa secara intuitif bahwa harus sama dengan karena oleh properti tanpa memori distribusi sama dengan distribusi tetapi bergeser ke kanan sebesar .XExp(λ)E[X]=1λE[X|X>x]x+E[X]X|X>xXx

Namun, saya berjuang untuk menggunakan properti tanpa memori untuk memberikan bukti nyata. Bantuan apa pun sangat kami hargai.

Terima kasih.

mchen
sumber
Petunjuk: adalah ekspresi matematika yang sesuai dengan "bergeser ke kanan oleh ", dan jadiSekarang lakukan perubahan variabel pada integral di sebelah kanan. fX|X>a(x)=fX(xa)a
E[XX>a]=xfXX>a(x)dx=xfX(xa)dx.
Dilip Sarwate
2
Perhatikan bahwa adalah distribusi terpotong terpotong di bawah " x ". Khususnya itu adalah distribusi eksponensial bergeser dan eksponensial bergeser tidak memiliki properti tanpa memori . X|X>xx
AD

Jawaban:

13

oleh properti tanpa memori, distribusiX|X>x sama denganX tetapi bergeser ke kananx .

Mari menunjukkan fungsi kepadatan probabilitas (pdf) dari . Kemudian, formulasi matematis untuk apa yang Anda nyatakan dengan benar yaitu, pdf bersyarat dari mengingat sama dengan tetapi bergeser ke kanan dengan adalah . Karenanya, , nilai yang diharapkan dari mengingat bahwa adalah fX(t)XX{X>x}Xx fXX>x(t)=fX(tx)E[XX>x]X{X>x}

E[XX>x]=tfXX>x(t)dt=tfX(tx)dt=(x+u)fX(u)duon substituting u=tx=x+E[X].
Perhatikan bahwa kami belum menggunakan kepadatan secara eksplisit dalam perhitungan, dan bahkan tidak perlu berintegrasi secara eksplisit jika kami hanya mengingat bahwa (i) area di bawah pdf adalah dan (ii) definisi dari nilai yang diharapkan dari variabel acak kontinu dalam hal pdf-nya.X1

Dilip Sarwate
sumber
9

Untuk , acara memiliki probabilitas . Karenanya, tetapi (menggunakan trik Feynman, dibuktikan oleh Teorema Konvergensi Terdominasi, karena menyenangkan) x>0{X>x}P{X>x}=1FX(x)=eλx>0

E[XX>x]=E[XI{X>x}]P{X>x},
E[XI{X>x}]=xtλeλtdt=()
()=λxddλ(eλt)dt=λddλxeλtdt
=λddλ(1λxλeλtdt)=λddλ(1λ(1FX(x)))
=λddλ(eλxλ)=(1λ+x)eλx,
yang memberikan hasil yang diinginkan
E[XX>x]=1λ+x=E[X]+x.
Zen
sumber
2
Meskipun penggunaan trik Feynman itu menarik, mengapa tidak hanya diintegrasikan oleh bagian untuk mendapatkan
xtλeλtdt=teλt|x+xeλtdt=(x+1λ)eλx?
Dilip Sarwate