Bagaimana saya harus secara mental menghadapi paradoks Borel?

Saya merasa sedikit tidak nyaman dengan bagaimana saya secara mental berurusan dengan paradoks Borel dan "paradoks" terkait lainnya yang berhubungan dengan probabilitas bersyarat. Bagi mereka yang membaca ini yang tidak terbiasa dengannya, lihat tautan ini . Respons mental saya sampai saat ini sebagian besar adalah mengabaikannya karena sepertinya tidak ada yang membicarakannya, tetapi saya merasa saya harus memperbaikinya.

Kita tahu bahwa paradoks ini ada, namun sepertinya dalam praktiknya (sebagai contoh ekstrem, analisis Bayesian) kita baik-baik saja dengan mengkondisikan peristiwa-peristiwa ukuran ; jika adalah data saya, kami mengkondisikan pada sepanjang waktu, meskipun ini adalah peristiwa ukuran ketika kontinu. Dan kami tentu saja tidak berusaha untuk membangun urutan peristiwa yang menyatu dengan peristiwa yang kami amati untuk menyelesaikan paradoks, setidaknya tidak secara eksplisit.$0$$X$$X = x$$0$$X$

Saya pikir ini tidak apa-apa karena pada dasarnya kami telah memperbaiki variabel acak (pada prinsipnya) sebelum percobaan, dan kami mengkondisikan pada . Yaitu, adalah aljabar alami untuk dikondisikan karena informasi akan digunakan melalui - jika informasi tersebut datang kepada kami dengan cara lain, kami akan mengkondisikan pada berbeda -aljabar. Paradoks Borel muncul karena (saya kira) tidak jelas apa yang sesuai dengan aljabar , tetapi Bayesian telah menetapkan . Karena kami menetapkan apriori sebagai informasi$X$$\sigma(X)$$\sigma(X)$$\sigma$$X = x$$X$$\sigma$$\sigma$$\sigma(X)$$X = x$ datang kepada kita dengan cara mengukur$X$ kita berada di tempat yang jelas. Setelah kita menentukan $\sigma$ -gebra, semuanya baik-baik saja; kami membangun ekspektasi bersyarat kami menggunakan Radon-Nikodym dan semuanya unik hingga set nol.

Apakah ini pada dasarnya benar, atau saya jauh? Jika aku cara off, apa yang pembenaran untuk berperilaku seperti yang kita lakukan? [Mengingat sifat Q&A dari situs ini, anggap ini sebagai pertanyaan saya.] Ketika saya mengambil probabilitas ukuran-teoretis saya, kami, untuk beberapa alasan saya tidak mengerti, bahkan tidak pernah menyentuh harapan bersyarat. Akibatnya, saya khawatir ide-ide saya sangat membingungkan.

Sebagai seorang Bayesian, saya akan mengatakan paradoks Borel tidak ada hubungannya (atau sangat sedikit) dengan statistik Bayesian. Kecuali bahwa statistik Bayesian menggunakan distribusi bersyarat, tentu saja. Fakta bahwa tidak ada paradoks dalam mendefinisikan distribusi posterior sebagai persyaratan pada serangkaian ukuran nol adalah bahwa tidak dipilih terlebih dahulu, tetapi sebagai hasil pengamatan. Dengan demikian, jika kita ingin menggunakan definisi eksotis untuk distribusi bersyarat pada himpunan ukuran nol, tidak ada kemungkinan bahwa himpunan tersebut akan berisi yang akan kita amati pada akhirnya. Distribusi bersyarat didefinisikan secara unik hampir di mana-mana dan karenanya hampir pasti pengamatan kita. Ini juga arti dari kutipan (hebat) dari A. Kolmogorov di$\{X=x\}$$x$$x$entri wikipedia.

Suatu titik dalam analisis Bayesian di mana seluk beluk teoritik-ukuran dapat berubah menjadi paradoks adalah representasi Savage-Dickey dari faktor Bayes, karena itu bergantung pada versi spesifik dari kepadatan sebelumnya (seperti dibahas dalam makalah kami tentang topik ...)