Apa perbedaan antara

Secara umum, Apa perbedaan antara $E(X|Y)$ dan $E(X|Y=y)$ ?

Mantan adalah fungsi dan yang terakhir adalah fungsi ? Sangat membingungkan ..$y$$x$

Secara kasar, perbedaan antara $E(X \mid Y)$ dan $E(X \mid Y = y)$ adalah bahwa yang pertama adalah variabel acak, sedangkan yang terakhir adalah (dalam beberapa hal) realisasi dari $E(X \mid Y)$ . Misalnya, jika

$$(X, Y) \sim \mathcal N\left(\mathbf 0, \begin{pmatrix} 1 & \rho \\ \rho & 1 \end{pmatrix}\right)$$ maka $E(X \mid Y)$adalah variabel acak $$E(X \mid Y) = \rho Y.$$ Sebaliknya, setelah $Y = y$ diamati, kita akan lebih tertarik pada kuantitas $E(X \mid Y = y) = \rho y$ yang merupakan skalar.

Mungkin ini tampaknya seperti komplikasi yang tidak perlu, tetapi mengenai $E(X \mid Y)$ sebagai variabel acak sendiri adalah hal yang membuat hal-hal seperti hukum menara $E(X) = E[E(X \mid Y)]$ masuk akal - yang sesuatu di bagian dalam kawat gigi itu acak, jadi kita bisa bertanya apa harapannya, sedangkan tidak ada yang acak tentang $E(X \mid Y = y)$ . Dalam kebanyakan kasus, kita mungkin berharap untuk menghitung

$$E(X \mid Y = y) = \int x f_{X\mid Y}(x \mid y) \ dx$$

dan kemudian mendapatkan $E(X \mid Y)$ dengan "memasukkan" variabel acak $Y$ di tempat $y$ dalam ekspresi yang dihasilkan. Seperti yang diisyaratkan dalam komentar sebelumnya, ada sedikit kehalusan yang dapat merayapi sehubungan dengan bagaimana hal-hal ini didefinisikan secara ketat dan menghubungkannya dengan cara yang tepat. Ini cenderung terjadi dengan probabilitas bersyarat, karena beberapa masalah teknis dengan teori yang mendasarinya.

Misalkan $X$ dan $Y$ adalah variabel acak.

Biarkan $y_0$ menjadi bilangan real tetap , katakan $y_0 = 1$ . Kemudian, $E[X\mid Y=y_0]= E[X\mid Y = 1]$ adalah angka : itu adalah nilai ekspektasi bersyarat dari $X$ mengingat $Y$ memiliki nilai $1$ . Sekarang, perhatikan untuk bilangan real tetap lainnya $y_1$ , katakanlah $y_1=1.5$ , $E[X\mid Y = y_1] = E[X\mid Y = 1.5]$ akan menjadi nilai yang diharapkan bersyarat dari $X$ diberikan$Y = 1.5$ (bilangan real). Tidak ada alasan untuk menganggap bahwa$E[X\mid Y = 1.5]$ dan$E[X\mid Y = 1]$ memiliki nilai yang sama. Dengan demikian, kita juga dapat menganggap$E[X\mid Y=y]$ sebagaifungsi bernilai nyata $g(y)$ yang memetakan bilangan real$y$ ke bilangan real$E[X\mid Y = y]$ . Perhatikan bahwa pernyataan dalam pertanyaan OP bahwa$E[X\mid Y = y]$ adalah fungsi dari $x$ salah:$E[X\mid Y = y]$ adalah fungsi bernilai riil dari$y$ .

On the other hand, $E[X\mid Y]$ is a random variable $Z$ which happens to be a function of the random variable $Y$. Now, whenever we write $Z = h(Y)$, what we mean is that whenever the random variable $Y$ happens to have value $y$, the random variable $Z$ has value $h(y)$. Whenever $Y$ takes on value $y$, the random variable $Z = E[X\mid Y]$ takes on value $E[X\mid Y = y] = g(y)$. Thus, $E[X\mid Y]$ is just another name for the random variable $Z = g(Y)$. Note that $E[X\mid Y]$ is a function of $Y$ (not $y$ as in the statement of the OP's question).

Sebagai contoh ilustrasi sederhana, anggaplah bahwa $X$ dan $Y$ adalah variabel acak diskrit dengan distribusi gabungan

$$\begin{align} P(X=0,Y=0) &= 0.1,~~ P(X=0, Y=1) = 0.2,\\ P(X=1,Y=0) &= 0.3,~~ P(X=1,Y=1) = 0.4. \end{align}$$ Perhatikan bahwa$X$dan$Y$adalahvariabeldependenBernoulli(dependen)masing-masingdengan parameter$0.7$dan$0.6$, sehingga$E[X] = 0.7$ dan$E[Y] = 0.6$. Sekarang, perhatikan bahwadikondisikanpada$Y=0$,$X$ is a Bernoulli random variable with parameter $0.75$ while conditioned on $Y = 1$, $X$ is a Bernoulli random variable with parameter $\frac 23$. If you cannot see why this is so immediately, just work out the details: for example $$P(X=1\mid Y = 0) = \frac{P(X=1, Y=0)}{P(Y=0)} = \frac{0.3}{0.4} = \frac 34,\\ P(X=0\mid Y = 0) = \frac{P(X=0, Y=0)}{P(Y=0)} = \frac{0.1}{0.4} = \frac 14,$$ and similarly for $P(X=1\mid Y=1)$ and $P(X=0\mid Y = 1)$. Hence, we have that $$E[X\mid Y = 0] = \frac 34, \quad E[X \mid Y = 1] = \frac 23.$$ Thus, $E[X\mid Y = y] = g(y)$ where $g(y)$ is a real-valued function enjoying the properties: $$g(0) = \frac 34, \quad g(1) = \frac 23.$$

On the other hand, $E[X\mid Y] = g(Y)$ is a random variable that takes on values $\frac 34$ and $\frac 23$ with probabilities $0.4 = P(Y=0)$ and $0.6 = P(Y=1)$ respectively. Note that $E[X\mid Y]$ is a discrete random variable but is not a Bernoulli random variable.

As a final touch, note that

$$E[Z] = E\left[E[X\mid Y]\right] = E[g(Y)] = 0.4\times \frac 34 + 0.6\times \frac 23 = 0.7 = E[X].$$ That is, the expected value of this function of $Y$, which we computed using only the marginal distribution of $Y$, happens to have the same numerical value as $E[X]$ !! This is an illustration of a more general result that many people believe is a LIE: $$E\left[E[X\mid Y]\right] = E[X].$$

Sorry, that's just a small joke. LIE is an acronym for Law of Iterated Expectation which is a perfectly valid result that everyone believes is the truth.

$E(X|Y)$ is the expectation of a random variable: the expectation of $X$ conditional on $Y$. $E(X|Y=y)$, on the other hand, is a particular value: the expected value of $X$ when $Y=y$.

Think of it this way: let $X$ represent the caloric intake and $Y$ represent height. $E(X|Y)$ is then the caloric intake, conditional on height - and in this case, $E(X|Y=y)$ represents our best guess at the caloric intake ($X$) when a person has a certain height $Y = y$, say, 180 centimeters.

$E(X|Y)$ is expected value of values of $X$ given values of $Y$ $E(X|Y=y)$ is expected value of $X$ given the value of $Y$ is $y$

Generally $P(X|Y)$ is probability of values $X$ given values $Y$, but you can get more precise and say $P(X=x|Y=y)$, i.e. probability of value $x$ from all $X$'s given the $y$'th value of $Y$'s. The difference is that in the first case it is about "values of" and in the second you consider a certain value.

You could find the diagram below helpful.