Jika saya memiliki nilai yang diharapkan dari logaritma RV, bisakah saya mendapatkan nilai yang diharapkan dari RV itu sendiri?

9

Asumsikan diberikan, dapatkah saya menurunkan E [ X ] dalam format form tertutup? E[log(X)]E[X]

Theoden
sumber
Apakah Anda tahu distribusi log x atau x? Misalnya. Apakah didistribusikan secara normal? Dalam kasus paling umum dengan x mengikuti beberapa distribusi sewenang-wenang, Anda tidak akan bisa berkata banyak. xx
Matthew Gunn
Tidak. Hanya nilai rata-rata dari log (x) yang diberikan.
Theoden
10
Cukup banyak yang dapat Anda katakan adalah bahwa karena ketidaksetaraan Jensen . E[log(x)]log(E[x])
Matthew Gunn

Jawaban:

15

Tidak.

Xlog(X)N(μ,σ)E[log(x)]=μσE[X]=exp(μ+σ22)σσ

jwimberley
sumber
Masuk akal. Saya butuh info lebih lanjut.
Theoden
4
Atau untuk contoh super sederhana, pertimbangkan variabel acak diskrit X (mengambil nilai 1 dengan probabilitas 1/3 dan 10 dengan probabilitas 2/3), dan Y (mengambil nilai 1 dengan probabilitas 2/3 dan 100 dengan probabilitas 1/3) . Kemudian E [log X] = E [log Y] = 1/3 (atau nomor lain jika Anda lebih suka logaritma Anda dibawa ke basis yang lebih masuk akal daripada 10, tetapi masih sama karena di setiap log dasar 100 = 2 log 10). Namun E [X]! = E [Y].
Steve Jessop