Pdf kuadrat dari variabel acak normal standar [ditutup]

Saya memiliki masalah ini di mana saya harus menemukan pdf dari . Yang saya tahu adalah X memiliki distribusi N ( 0 , 1 ) . Distribusi seperti apa Y = X 2 ? Sama seperti X ? Bagaimana cara menemukan pdf?$Y = X^2$$X$$N(0,1)$$Y = X^2$$X$

Anda telah menemukan salah satu hasil paling terkenal dari teori probabilitas dan statistik. Saya akan menulis jawaban, meskipun saya yakin pertanyaan ini telah ditanyakan (dan dijawab) sebelumnya di situs ini.

Pertama, perhatikan bahwa pdf dari $Y = X^2$ tidak boleh sama dengan yang dari $X$ sebagai $Y$ akan menjadi tidak negatif. Untuk memperoleh distribusi $Y$ kita dapat menggunakan tiga metode, yaitu teknik mgf, teknik cdf dan teknik transformasi kepadatan. Mari kita mulai.

Teknik fungsi pembangkit momen .

Atau teknik fungsi karakteristik, apa pun yang Anda suka. Kita harus menemukan mgf $Y=X^2$ . Jadi kita perlu menghitung ekspektasinya

$$E\left[e^{tX^2}\right]$$

Menggunakan Hukum Sadar Statistician , yang harus kita lakukan adalah menghitung integral atas distribusi $X$ . Jadi kita perlu menghitung

$$\begin{align} E\left[e^{tX^2}\right] = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{tx^2} e^{-\frac{x^2}{2}} dx &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{ - \frac{x^2}{2} \left( 1- 2t \right) \right\} dt \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\left( 1-2t \right)^{1/2}}{\left( 1-2t \right)^{1/2}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{ - \frac{x^2}{2} \left( 1- 2t \right) \right\} dt \\ & = \left(1-2t\right)^{-1/2} , \quad t<\frac{1}{2} \end{align}$$

di mana pada baris terakhir kita telah membandingkan integral dengan integral Gaussian dengan rata-rata nol dan varian $\frac{1}{\left(1-2t\right)}$ . Tentu saja ini terintegrasi ke satu di atas garis nyata. Apa yang dapat Anda lakukan dengan hasil itu sekarang? Nah, Anda dapat menerapkan transformasi terbalik yang sangat kompleks dan menentukan pdf yang sesuai dengan MGF ini atau Anda mungkin mengenalinya sebagai MGF dari distribusi chi-squared dengan satu derajat kebebasan. (Ingat bahwa distribusi chi-squared adalah kasus khusus dari distribusi gamma dengan$\alpha = \frac{r}{2}$ ,$r$menjadi derajat kebebasan, dan$\beta = 2$).

Teknik CDF

Ini mungkin hal termudah yang dapat Anda lakukan dan disarankan oleh Glen_b dalam komentar. Menurut teknik ini, kami menghitung

$$F_Y (y) = P(Y\leq y) = P(X^2 \leq y) = P(|X|\leq \sqrt{y})$$

$y$

$$\begin{align} F_Y (y) = P\left( |X|\leq \sqrt{y} \right) = P\left(-\sqrt{y} < X <\sqrt{y} \right) = \Phi\left(\sqrt{y}\right) - \Phi \left(- \sqrt{y}\right) \end{align}$$

$\Phi(.)$$y$

$$f_Y(y) = F_Y^{\prime} (y) = \frac{1}{2 \sqrt{y}} \phi \left( \sqrt{y} \right) + \frac{1}{2 \sqrt{y}} \phi \left( -\sqrt{y} \right) = \frac{1}{\sqrt{y}} \phi(\sqrt{y})$$

$\phi(.)$

$$f_Y (y) = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y}{2}}, \quad 0<y<\infty$$

yang kami kenali sebagai pdf dari distribusi chi-squared dengan satu derajat kebebasan (Anda mungkin melihat sebuah pola sekarang).

Teknik transformasi kepadatan

$Y = g(X)$$Y$

$$f_Y (y) = \left| \frac{d}{dy} g^{-1} (y) \right| f_X \left( g^{-1} (y) \right)$$

$y$$g$$X$$Y$$g$

$X$$Y= g(X)$$g$$Y$

$$f_Y (y) = \sum \left| \frac{d}{dy} g^{-1} (y) \right| f_X \left( g^{-1} (y) \right)$$

di mana jumlah tersebut melebihi semua fungsi terbalik. Contoh ini akan membuatnya jelas.

$y = x^2$$x = \pm \sqrt{y}$$\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt{y}} }$

$$f_Y (y) = \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi} } e^{-y/2} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi} } e^{-y/2} = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y/2}, \quad 0<y<\infty$$

pdf dari distribusi chi-squared dengan satu derajat kebebasan. Sebagai tambahan, saya menemukan teknik ini sangat berguna karena Anda tidak lagi harus mendapatkan CDF dari transformasi. Tapi tentu saja, ini adalah selera pribadi.

---

Jadi Anda bisa tidur malam ini sepenuhnya yakin bahwa kuadrat dari variabel acak normal standar mengikuti distribusi chi-kuadrat dengan satu derajat kebebasan.